Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 16 - Bài 4, 5 - Chương 1 - Hình học 8


Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB. G là trung điểm của AH và CM, BG cắt cạnh AC tại N. 

a) Chứng minh rằng BMNC là hình thang cân.

b) Đường thẳng qua N và song song với MC cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh rằng tam giác BNP cân.

c) Chứng minh rằng \(9M{N^2} = P{B^2}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng: 

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

- Tính chất tam giác cân

- Hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau.

Quảng cáo
decumar

Lời giải chi tiết

a) \(\Delta ABC\) cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến.

M là trung điểm của AB (gt) \( \Rightarrow CM\) là trung tuyến của \(\Delta ABC.\)

G là giao điểm của hai đường trung tuyến AH và CM nên G là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow BG\) là trung tuyến thứ ba nên N là trung điểm của AC.

Ta có \(MA = MB = \dfrac{1 }{ 2}AB,\) \(NA = NC = \dfrac{1 }{2}AC\) mà \(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

\( \Rightarrow MA = MB = NA = NC\) hay \(\Delta AMN\) cân tại A

\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {ANM} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - \widehat A}}{ 2}(1)\)

\(\Delta ABC\) cân tại A (gt)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - \widehat A} }{ 2}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {ABC}\)

\( \Rightarrow MN// BC\) (cặp góc đồng vị bằng nhau)

Do đó BMNC là hình thang. Lại có \(\widehat B = \widehat C\) nên BMNC là hình thang cân.

b) Xét \(\Delta BGC\) có GH là đường cao đồng thời là trung tuyến (cmt) nên \(\Delta BGC\) cân tại G \( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) mà \(NP//MC\left( {gt} \right)\)

\(\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat P\) (cặp góc đồng vị) \( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat P\) hay \(\Delta BNP\) cân tại N.

c) Ta có MNPC là hình thang (do MN//PC) có hai cạnh bên \(MC//NP\) nên MN = CP.

Lại có \(MN = \dfrac{1 }{ 2}BC\) (MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\) )

\( \Rightarrow MN = \dfrac{1 }{3}BP \Rightarrow M{N^2} = \dfrac{1 }{ 9}B{P^2}\)

\(\Rightarrow 9M{N^2} = B{P^2}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.