Bài 71 trang 103 SGK Toán 8 tập 1

Bình chọn:
5 trên 148 phiếu

Giải bài 71 trang 103 SGK Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC,

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Lấy \(M\) là một điểm bất kì thuộc cạnh \(BC\). Gọi \(MD\) là đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB\), \(ME\) là đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AC\), \(O\) là trung điểm của \(DE\).

a) Chứng mình rằng ba điểm \(A, O, M\) thẳng hàng.

b) Khi điểm \(M\) di chuyển trên cạnh \(BC\) thì điểm \(O\) di chuyển trên đường nào ?

c) Điểm \(M\) ở vị trí nào trên cạnh \(BC\) thì \(AM\) có độ dài nhỏ nhất ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng: +) Tính chất đường trung bình của tam giác.

+) Tính chất hình chữ nhật.

+) Định lí: Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác \(ADME\) có: \(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {AD{\rm{E}}} = \widehat {A{\rm{EM}}} = {90^0}\left( {gt} \right)\)

 \(\Rightarrow \) tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Vì \(O\) là trung điểm của đường chéo \(DE\) (gt)

 \(\Rightarrow \) \(O\) cũng là trung điểm của \(AM\) (tính chất hình chữ nhật)

Vậy \(A, O, M\) thẳng hàng.

b) Kẻ \(AH ⊥ BC\).

Cách 1:

Kẻ \(OK ⊥ BC\). Ta có \(OA = OM\) (cmt)

\(OK // AH\) (do cùng vuông góc với \(BC\)).

 \(\Rightarrow \) K là trung điểm của MH (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

 \(\Rightarrow \)  \(OK = {1 \over 2}AH\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Điểm \(O\) cách đoạn \(BC\) cố định một khoảng không đổi bằng \({1 \over 2}AH\).

Mặt khác khi \(M\) trùng \(C\) thì \(O\) chính là trung điểm của \(AC\), khi \(M\) trùng \(B\) thì \(O\) chính là trung điểm của \(AB\).

Vậy \(O\) di chuyển trên đoạn thẳng \(PQ\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

Cách 2:

Vì \(O\) là trung điểm của \(AM\) nên \(HO\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\). Do đó \(OA = OH\). Suy ra điểm \(O\) di chuyển trên đường trung trực của \(AH\).

Mặt khác vì \(M\) di chuyển trên đoạn \(BC\). Vậy điểm \(O\) di chuyển trên đoạn thẳng \(PQ\) là đường trung bình của \(ABC\).

c) Ta có \(AH\) là đường cao hạ từ \(A\) đến \(BC\) do đó \(AM\ge AH\) (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất).

Vậy \(AM\) nhỏ nhất khi \(M\) trùng \(H\).

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 8 - Xem ngay

>>Học trực tuyến các môn học lớp 8, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Lý, Hóa. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan