Lý thuyết phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Phương pháp: Ta tìm hướng giải bằng cách đọc kỹ

I. Các kiến thức cần nhớ

Ngoài các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử , ta còn sử dụng các cách sau:

1. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Ví dụ: ${x^2} + 3x + 2 = {x^2} + x + 2x + 2 = x\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)$

Một cách tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$ thành nhân tử

Ta tách hạng tử $bx$ thành ${b_1}x + {b_2}x$ sao cho , tức là ${b_1}{b_2} = ac.$

Trong khi làm bài ta thực hiện các bước như sau:

-Bước $1$ : Tìm tích $a.c$

-Bước $2$ : Phân tích tích $a.c$ ra tích của hai thừa số nguyên tố bằng mọi cách.

-Bước $3$ : Chọn hai thừa số mà tổng bằng $b.$

b. Thêm bớt cùng một hạng tử

- Thêm bớt cùng một hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương.

Ví dụ: ${x^4} + 4 = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 4{x^2} + 4 - 4{x^2} $

$= {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} - {\left( {2x} \right)^2}$$ = \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)$

- Thêm bớt cùng một hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

Ví dụ $:{x^5} + {x^4} + 1 $$=\left( {{x^5} + {x^4} + {x^3}} \right)-\left( {{x^3}-1} \right)$$ = {x^3}\left( {{x^2} + x + 1} \right)-\left( {x-1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)$

$ = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3}-x + 1} \right)$

c. Đặt ẩn phụ

Ví dụ: $\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + 3$

Đặt ${x^2} + 2x = t$ , đa thức trên trở thành:

$t\left( {t + 4} \right) + 3 $$= {t^2} + 4t + 3 $$= {t^2} + t + 3t + 3 $$= t\left( {t + 1} \right) + 3\left( {t + 1} \right)$$ = \left( {t + 1} \right)\left( {t + 3} \right)$

Thay $t = {x^2} + 2x$ , ta được: $\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + 3$ $ = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right).$

d. Phối hợp nhiều phương pháp

Để phân tích một đa thức thành nhân tử ta có thể kết hợp nhiều phương pháp trên với nhau.

Ví dụ: ${x^2} - 2yz - {y^2} - {z^2} $$= {x^2} - \left( {{y^2} + 2yz + {z^2}} \right) $$={x^2} - {\left( {y + z} \right)^2} $$= \left( {x + y + z} \right)\left( {x - y - z} \right)$

Ở ví dụ trên ta đã kết hợp phương pháp nhóm hạng tử và hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc để đa thức trong ngoặc đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến kết quả cuối cùng.

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp:

Sử dụng các phương pháp đã học để phân tích đa thức thành nhân tử.

Dạng 2: Tìm ${\bf{x}}$ .

Phương pháp:

Sử dụng các phương pháp đã học để phân tích đa thức thành nhân tử.

Từ đó biến đổi về dạng tìm $x$ thường gặp.

Chẳng hạn $A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức để có thể sử dụng được điều kiện của đề bài.