Bài 9 trang 70 SGK Toán 9 tập 1


Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B.

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(I\) là một điểm nằm giữa \(A\) và \(B\). Tia \(DI\) và tia \(CB\) cắt nhau ở \(K\). Kẻ đường thẳng qua \(D\), vuông góc với \(DI\). Đường thẳng này cắt đường thẳng \(BC\) tại \(L\). Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(DIL\) là một tam giác cân;

b) Tổng \(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) không đổi khi \(I\) thay đổi trên cạnh \(AB\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau\((\Delta{ADI}\) và \(\Delta{CDL})\) từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\) để đưa tổng đã cho về tổng của các số không đổi.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta CDL\) có: 

               \(\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}\)

              \(AD=CD\) (hai cạnh hình vuông)

             \(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\)  (cùng phụ với \(\widehat{CDI})\)

Do đó \(\Delta ADI=\Delta CDL\) (g.c.g)

\(\Rightarrow DI=DL\) ( 2 cạnh tương ứng)

Vậy \(\Delta DIL\) cân tại D (đpcm).

b) Xét \(\Delta{DLK}\) vuông tại \(D\), đường cao \(DC\).

Áp dụng hệ thức lượng \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\) trong tam giác vuông DKL, đường cao DC, ta có:

                 \(\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DL^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\)  (mà \(DL=DI)\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\)

Do ABCD cố định nên \(DC\) không đổi, do đó \(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) là không đổi.

Chú ý: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\)

Nếu đề bài không cho gợi ý vẽ \(DL\perp DK\) thì ta vẫn phải kẻ thêm đường nét phụ \(DL\perp DK\) để có thể vận dụng hệ thức trên.


Bình chọn:
4.7 trên 196 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí