Giải bài 9 trang 70 SGK Toán 9 tập 1. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B.

Xem thêm: Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(I\) là một điểm nằm giữa \(A\) và \(B\). Tia \(DI\) và tia \(CB\) cắt nhau ở \(K\). Kẻ đường thẳng qua \(D\), vuông góc với \(DI\). Đường thẳng này cắt đường thẳng \(BC\) tại \(L\). Chứng minh rằng

a) Tam giác \(DIL\) là một tam giác cân;

b) Tổng \(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) không đổi khi \(I\) thay đổi trên cạnh \(AB\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau\((\Delta{ADI}\) và \(\Delta{CDL})\) từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\) để đưa tổng đã cho về tổng của các số không đổi.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta CDL\) có:

\(\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}\)

\(AD=CD\) (hai cạnh hình vuông)

\(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\) (cùng phụ với \(\widehat{CDI})\)

Do đó \(\Delta ADI=\Delta CDL\) (g.c.g)

Suy ra \(DI=DL\).

Vậy \(\Delta DIL\) cân (đpcm).

b) Xét \(\Delta{DLK}\) vuông tại \(D\), đường cao \(DC\).

Áp dụng hệ thức \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\), ta có:

\(\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DL^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) (mà \(DL=DI)\)

Suy ra \(\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\)

Do \(DC\) không đổi nên \(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) là không đổi.

Nhận xét: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\)

Nếu đề bài không cho vẽ \(DL\perp DK\) thì ta vẫn phải vẽ đường phụ \(DL\perp DK\) để có thể vận dụng hệ thức trên.

Loigiaihay.com