Bài 7 trang 69 SGK Toán 9 tập 1

Bình chọn:
4.1 trên 38 phiếu

Giải bài 7 trang 69 SGK Toán 9 tập 1. Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b.

Đề bài

Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân \(x\) của hai đoạn thẳng \(a,\ b\) (tức là \({x^2} = ab\) ) như trong hai hình sau:

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Đặt tên các điểm và nối các điểm lại để xuất hiện tam giác.

+) Dùng dấu hiệu: "tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó là tam giác vuông" để chứng minh tam giác vuông.

+ Dùng các hệ thức sau để chứng minh \(x\) là trung bình nhân của \(a,\ b\):

         \(b^2=a.b',\ c^2=a.c'\)      \((1)\)

         \(h^2=b'.c'\)                       \((2)\)

+) Nêu các bước để vẽ được đoạn trung bình nhân.

 

Lời giải chi tiết

Cách 1: Đặt tên các đoạn thẳng như hình bên. 

Xét \(\Delta{ABC}\) có:

      \(OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2} = R \)

Mà \(AO\) là trung tuyến ứng với cạnh \(BC\) của \(\Delta{ABC}\).

Suy ra \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\) ( tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì là tam giác vuông)

Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Áp dụng hệ thức \(h^2=b'.c'\), ta được:

       \(AH^2=BH.CH \Leftrightarrow x^2=a.b\)

                                       \(\Leftrightarrow x=\sqrt {ab}\)

Vậy \(x\) là trung bình nhân của \(a\) và \(b\).

Cách vẽ: Bước \(1\): Đặt \(BH=a,\ CH=b\). Xác định trung điểm \(O\) của đoạn \(AB\). 

             Bước \(2\): Vẽ nửa đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OB\). 

             Bước \(3\): Kẻ thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\). Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại \(A\). 

             Bước \(4\): Nối \(A\) và \(H\) ta được \(AH=x\) là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng \(a,\ b\).

Cách 2: Vẽ và đặt tên như hình bên dưới

 Xét \(\Delta{ABC}\) có:

                \(OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2} = R.\)

Mà \(AO\) là trung tuyến ứng với cạnh \(BC\) của \(\Delta{ABC}\).

Suy ra \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\) (tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bẳng nửa cạnh đó thì là tam giác vuông)

Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\).  Áp dụng hệ thức \(b^2=b'.a\), ta có:

                 \(AB^2 = BC.BH \Leftrightarrow x^2=a.b\)

                                                \(\Leftrightarrow x=\sqrt{ab}\)

Vậy \(x\) là trung bình nhân của \(a\) và \(b\).

Cách vẽ: Bước \(1\): Đặt \(BH=a,\ CH=b\). Xác định trung điểm \(O\) của đoạn \(BC\).

             Bước \(2\): Vẽ nửa đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OB\). 

             Bước \(3\): Kẻ đường thẳng đi qua điểm \(H\). Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại \(A\). 

             Bước \(4\): Nối \(B\) và \(A\) ta được \(AB=x\) là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng \(a,\ b\). 

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan