Bài 2 trang 131 SGK Toán 8 tập 2


Đề bài

Cho hình thang \(ABCD \;(AB // CD)\) có hai đường chéo cắt nhau ở \(O\) và tam giác \(ABO\) là tam giác đều. Gọi \(E, F, G\) theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(OA, OD\) và \(BC\). Chứng minh rằng tam giác \(EFG\) là tam giác đều.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng:

- Dấu hiệu nhận biết tam giác đều.

- Tính chất đường trung bình của tam giác.

- Tính chất tamm giác đều.

Lời giải chi tiết

 

Vì tam giác \(ABO\) đều (giả thiết)

\( \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {OAB} = \widehat {ABO} = {60^0}\) (tính chất tam giác đều)

Vì \(AB // CD\) (gt)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {O{\rm{D}}C} = \widehat {ABO} = {60^0}\left( {so\,le\,trong} \right)\\
\widehat {OC{\rm{D}}} = \widehat {OAB} = {60^0}\left( {so\,le\,trong} \right)
\end{array} \right.\)

Mà \(\widehat {CO{\rm{D}}} = \widehat {AOB} = {60^0}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow\) tam giác \(CDO\) cũng đều (dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

\( \Rightarrow OD = OC\) (tính chất tam giác đều)

Xét \(∆AOD\) và \(∆BOC\) có:

+) \(AO = BO\) (tam giác \(ABO\) đều)

+) \(\widehat {AO{\rm{D}}} = \widehat {BOC}\) (đối đỉnh)

+) \(OD = OC\) (cmt)

\( \Rightarrow ∆AOD = ∆BOC\) (c.g.c)

\( \Rightarrow AD = BC\) (2 cạnh tương ứng)

Ta có: \(E, F\) là trung điểm của \(AO\) và \(DO\) (gt)

\( \Rightarrow\) \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(AOD\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

 \(EF = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}BC\)   (1) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(CF\) là đường trung tuyến của tam giác đều \(CDO\) nên \(CF ⊥ DO\) (tính chất tam giác đều)

Trong tam giác vuông \(CFB\), \(FG\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

 \(FG = \dfrac{1}{2}BC\)  (2)

Chứng minh tương tự: 

\(BE\) là đường trung tuyến của tam giác đều \(ABO\) nên \(BE ⊥ AO\) (tính chất tam giác đều)

Trong tam giác vuông \(CEB\), \(EG\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

 \(EG = \dfrac{1}{2}BC\)  (3) 

Từ (1), (2), (3) suy ra \(EF = GF = EG\) nên tam giác \(EFG\) là tam giác đều (dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 24 phiếu
  • Bài 3 trang 131 SGK Toán 8 tập 2

    Giải bài 3 trang 131 SGK Toán 8 tập 2. Tam giác ABC có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K.

  • Bài 4 trang 132 SGK Toán 8 tập 2

    Giải bài 4 trang 132 SGK Toán 8 tập 2. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi E là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM.

  • Bài 5 trang 132 SGK Toán 8 tập 2

    Giải bài 5 trang 132 SGK Toán 8 tập 2. Trong tam giác ABC các đường trung tuyến AA’ và BB’ cắt nhau ở G. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng diện tích tam giác ABG bằng S.

  • Bài 6 trang 132 SGK Toán 8 tập 2

    Giải bài 6 trang 132 SGK Toán 8 tập 2. Cho tam giác ABC và đường trung tuyến BM. Trên đoạn thẳng BM lấy điểm D sao cho . Tia AD cắt BC ở K. Tìm tỉ số diện tích của tam giác ABK và tam giác ABC.

  • Bài 7 trang 132 SGK Toán 8 tập 2

    Giải bài 7 trang 132 SGK Toán 8 tập 2. Cho tam giác ABC (AB < AC). Tia phân giác của góc A cắt BC ở K. Qua trung điểm M của BC kẻ một tia song song với KA cắt đường thẳng AB ở D, cắt AC ở E.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.