Bài 16 trang 75 SGK Toán 8 tập 1

Bình chọn:
4.3 trên 283 phiếu

Giải bài 16 trang 75 SGK Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng: tính chất hai tam giác bằng nhau, dấu hiệu nhận biết hình thang cân, tính chất tâm giác cân.

Lời giải chi tiết

 

\(\Delta ABC\) cân tại A (gt) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB = AC\\
\widehat {ABC} = \widehat {ACB}
\end{array} \right.\)

 (tính chất tam giác cân)

Vì BD, CE lần lượt là phân giác của \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\) (gt) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\\
\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}
\end{array} \right.\) (tính chất tia phân giác)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (cmt) \( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)

 Xét \(∆ABD\) và  \(∆ACE\) có:

+) \(AB = AC\) (cmt)

+) \(\widehat{A}\) chung

+) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE{\rm{ }}\left( {g.c.g} \right) \)\(\Rightarrow A{\rm{D}} = A{\rm{E}}\) (2 cạnh tương ứng).

Ta có AD =  AE (cmt) nên  ∆ADE cân (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {AD{\rm{E}}}\) (tính chất tam giác cân)

Xét ∆ADE có:  \(\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat {AD{\rm{E}}} + \widehat A = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat A = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {A{\rm{ED}}} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left( 1 \right)
\end{array}\)

Xét ∆ABC có: \(\widehat A +\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (cmt)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {2ABC} + \widehat A = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {2ABC}= \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left( 2 \right)
\end{array}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \widehat{A{\rm{ED}}}\) = \(\widehat{ABC}\), mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra DE // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Do đó BEDC là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).

Lại có \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\) ( cmt )

Nên BEDC là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

Ta có:

\(DE//BC \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{B_2}}\) (so le trong)

Lại có \(\widehat{B_{2}}\) = \(\widehat{B_{1}}\) (cmt) nên \(\widehat{B_{1}}\) = \(\widehat{{D_{1}}}\)

\( \Rightarrow \Delta EB{\rm{D}}\)  cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow EB = E{\rm{D}}\) (tính chất tam giác cân).

Vậy BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 8 - Xem ngay

>>Học trực tuyến các môn học lớp 8, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Lý, Hóa. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan