Đề kiểm 15 phút - Đề số 10 - Bài 5 - Chương 3 - Hình học 9

Bình chọn:
2.7 trên 3 phiếu

Giải Đề kiểm 15 phút - Đề số 10 - Bài 5 - Chương 3 - Hình học 9

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy A là điểm chính giữa của cung BC. D là điểm di động trên cung AC, AD cắt BC tại E. Xác định vị trí điểm D để \(2AD + AE\) nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Ta có :

\(\widehat {AEC} = \dfrac{{sd\overparen{AB} - sd\overparen{CD}} }{ 2} \)\(\,= \dfrac{{sd\overparen{AC} - sd\overparen{CD}}}{ 2} = \dfrac{{sd\overparen{AD}} }{ 2}\)  ( vì \(\overparen{AB} = \overparen{AC}\) )

Lại có \(\widehat {ACD} = \dfrac{{sd\overparen{AD}}}{2} \Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {ACD}\)

\( \Rightarrow  ∆ACD\) và \(∆AEC\) đồng dạng (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD} }{ {AC}} =\dfrac {{AC} }{{AE}} \Rightarrow A{C^2} = AD.AE\)

\(∆ABC\) vuông cân ( chắn nửa đường tròn) có \(BC = 2R.\)

Đặt \(AB = AC = x.\)

Theo định lí Py-ta-go:

\(\eqalign{
& {x^2} + {x^2} = {\left( {2R} \right)^2} \Rightarrow 2{x^2} = 4{R^2} \cr
& \Rightarrow {x^2} = 2{R^2} \Rightarrow x = R\sqrt 2 \cr} \)

Vậy \(AB = AC = R\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow {\left( {R\sqrt 2 } \right)^2} = AD.AE \)

\(\Rightarrow AD.AE = 2{R^2}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có :

\(2AD + AE \ge 2\sqrt {2AD.AE} \)

\(2AD + AE \ge 4R\)

Dấu “ = ” xảy ra \( \Leftrightarrow  2AD  = AE = 2R\)

Do đó khi D thuộc cung AC sao cho \(AD = R \) thì \(2AD + AE\) nhỏ nhất.

 Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com