Bài 9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân ..

Bài 52 trang 58 SGK Toán 8 tập 1

Giải bài 52 trang 58 SGK Toán 8 tập 1. Chứng tỏ rằng với x≠0 và x≠±a (a là một số nguyên), giá trị của biểu thức là một số chẵn.

Đề bài

Chứng tỏ rằng với \(x \ne 0\) và \(x \ne \pm a\) (\(a\) là một số nguyên), giá trị của biểu thức

\(\left( {a - \dfrac{{{x^2} + {a^2}}}{{x + a}}} \right).\left( {\dfrac{{2a}}{x} - \dfrac{{4a}}{{x - a}}} \right)\) là một số chẵn.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm điều kiện xác định của phân thức là mẫu thức khác \(0\).

- Chứng tỏ biểu thức có giá trị dạng \(2k\) (\(k\) là một số nguyên)

Lời giải chi tiết

Điều kiện của biến để giá trị của biểu thức được xác định là : \(x \ne 0,x \ne \pm a\) ( \(a\) là một số nguyên)

Ta có:

\(\eqalign{
& \left( {a - {{{x^2} + {a^2}} \over {x + a}}} \right).\left( {{{2a} \over x} - {{4a} \over {x - a}}} \right) \cr
& = {{a\left( {x + a} \right) - \left( {{x^2} + {a^2}} \right)} \over {x + a}}.{{2a\left( {x - a} \right) - 4a.x} \over {x\left( {x - a} \right)}} \cr
& = {{ax + {a^2} - {x^2} - {a^2}} \over {x + a}}.{{2ax - 2{a^2} - 4ax} \over {x\left( {x - a} \right)}} \cr
& = {{ax - {x^2}} \over {x + a}}.{{ - 2{a^2} - 2ax} \over {x\left( {x - a} \right)}} \cr
& = {{x\left( {a - x} \right)} \over {x + a}}.{{2a\left( { - a - x} \right)} \over {x\left( {x - a} \right)}} \cr
& = {{x\left( {a - x} \right).2a\left( { - a - x} \right)} \over {x\left( {x + a} \right)\left( {x - a} \right)}} \cr& = {{x\left[- {(x - a)} \right].[-2a\left( { x+a} \right)]} \over {x\left( {x + a} \right)\left( {x - a} \right)}} \cr
& = {{2ax\left( {x - a} \right)\left( {a + x} \right)} \over {x\left( {x + a} \right)\left( {x - a} \right)}} = 2a \cr} \)

Vì \(a\) là số nguyên nên \(2a\) là số chẵn.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số chẵn.

Loigiaihay.com