Giải SBT đại số, hình học toán lớp 9 tập 1, tập 2 Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam gi..

Bài 18 trang 105 SBT toán 9 tập 1


Bài 18 trang 105 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC.

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), vẽ đường cao \(AH\). Chu vi của tam giác \(ABH\) là \(30cm\) và chu vi của tam giác \(ACH\) là \(40cm\). Tính chu vi của tam giác \(ABC.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\):

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì ta có:

\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: 

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}}\)

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \dfrac{{{c^2}}}{{{d^2}}} = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}\) 

Lưu ý: Tỉ số đồng dạng của hai tam giác bằng tỉ số chu vi của hai tam giác đó.

Lời giải chi tiết

Gọi \(a,  b, c\) lần lượt là chu vi của các tam giác \(ABC\), \(ABH\), \(ACH\).

Ta có: \(b = 30cm,c = 40cm.\) 

Xét hai tam giác vuông \(AHB\) và \(CHA\), ta có: 

\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \)

\(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\) (hai góc cùng phụ \(\widehat {ACB}\))

Vậy \(\Delta AHB\) đồng dạng \(\Delta CHA\) (g.g)

Suy ra: \(\dfrac{{HB}}{{HA}} = \dfrac{{HA}}{{HC}}\)\( = \dfrac{{BA}}{{AC}} = \dfrac{{HB + HA + BA} }{{HA + HC + AC}} = \dfrac{b}{c}\)

Suy ra: \(\dfrac{{BA}}{{AC}} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{{30}}{{40}} = \dfrac{3}{4}\)

Suy ra: \(\dfrac{{BA}}{3} = \dfrac{{AC}}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{{B{A^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}} = \dfrac{{B{A^2} + A{C^2}}}{{9 + 16}}\)\( = \dfrac{{B{A^2} + A{C^2}}}{{25}}\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(ABC\), ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) 

Suy ra:

\(\dfrac{{B{A^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}} = \dfrac{{B{C^2}}}{{25}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{BA} }{3} = \dfrac{{AC}}{ 4} = \dfrac{{BC}}{5}\)

Xét hai tam giác vuông \(AHB\) và \(CAB\), ta có: 

\(\widehat {CAB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \)

\(\widehat {C} \) chung

Nên \(\Delta CAB\) đồng dạng \(\Delta CHA\) (g.g)

Suy ra các tam giác \(ABH, CAH, CBA\) đồng dạng với nhau nên:

\(b:c:a = BA:AC:BC = 3:4:5\) 

Suy ra: \(\dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{ 4} = \dfrac{a}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{30}}{3} = \dfrac{{40}}{4} = \dfrac{a}{5}\)\( \Rightarrow a = \dfrac{{30}}{3}.5 = 50\left( {cm} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 18 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store