Bài 1.10 phần bài tập bổ sung trang 106 SBT toán 9 tập 1


Giải bài Bài 1.10 phần bài tập bổ sung trang 106 sách bài tập toán 9. Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm, cạnh bên AD bằng 4cm và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh DC, CB và đường chéo DB.

Đề bài

Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) có cạnh đáy \(AB\) bằng \(6cm\), cạnh bên \(AD\) bằng \(4cm\) và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh \(DC, CB\) và đường chéo \(DB\).  

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) \(A{B^2} = BH.BC\)

+) \(A{C^2} = CH.BC\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) 

Lời giải chi tiết

Hai đường chéo \(AC, BD\) cắt nhau tại \(H\). Trong tam giác vuông \(ABD\), ta có: 

\(\dfrac{{HD}}{{HB}} =\dfrac{{HD.BD}}{{HB.BD}} = \dfrac{{A{D^2}}}{{A{B^2}}} \)\(= \dfrac{{{4^2}}}{{{6^2}}} = \dfrac{4}{9}.\) 

Ta có \(∆HDC \backsim ∆HBA\) (do \(\widehat {DHC} = \widehat {AHB} = {90^0};\,\widehat {ACD} = \widehat {CAB}\) (so le trong)) nên  

\(\dfrac{{DC}}{{AB}} = \dfrac{{HD}}{{HB}} = \dfrac{4}{9}\) 

Suy ra \(DC =\dfrac{4}{9}.AB= \dfrac{4}{9}.6 = \dfrac{8 }{3}\left( {cm} \right)\)

Kẻ đường cao \(CK\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(ADCK\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông) nên \(DC=KA;AD=KC\) (tính chất)

Suy ra \(KB = AB-KA=AB-DC\)\( = 6 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{{10}}{3}.\)

Từ đó theo định lý Pytago cho tam giác vuông \(KBC\) ta có:

\(B{C^2} = K{B^2} + K{C^2} = K{B^2} + A{D^2}\)\( = \dfrac{{100}}{ 9} + 16 = \dfrac{{244}}{9}\) suy ra \(BC = \dfrac{{\sqrt {244} }}{3} = \dfrac{{2\sqrt {61} }}{3}\left( {cm} \right)\)

Tam giác vuông \(ABD,\) theo định lý Pytago ta có: \(D{B^2} = A{B^2} + A{D^2} \)\(= {6^2} + {4^2} = 52\), từ đó \(DB = \sqrt {52}  = 2\sqrt {13} \left( {cm} \right)\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.6 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài