Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 8 - Chương 1 - Đại số 9


Giải Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 8 - Chương 1 - Đại số 9

Đề bài

Bài 1. Rút gọn :  \(\displaystyle A = {{x\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x }} - {{x\sqrt x  + 1} \over {x + \sqrt x }} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}\)\(\displaystyle \,\,\left( {x > 0;\,x \ne 1} \right)\) 

Bài 2. Chứng minh : \(\displaystyle {{x + 2} \over {x\sqrt x  + 1}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {x - 1}} < 1\,\,\left( * \right)\)\(\displaystyle \,\left( {x \ge 0;\,x \ge 1} \right)\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Quy đồng và rút gọn các phân thức.

Lời giải chi tiết

Bài 1. Ta có:

\(\displaystyle A = {{x\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x }} - {{x\sqrt x  + 1} \over {x + \sqrt x }} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}\)\(\displaystyle \,\,\left( {x > 0;\,x \ne 1} \right)\) 

\(\displaystyle \eqalign{  &  = {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - {{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}  \cr  &  = {{x + \sqrt x  + 1 - x + \sqrt x  - 1 + x + 1} \over {\sqrt x }} \cr  &  = {{{x+2\sqrt x  + 1}} \over {\sqrt x }} \cr  &  = {{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}} \over {\sqrt x }} \cr} \)

Bài 2. Ta có:

\(\displaystyle x\sqrt x  + 1 = \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right) \), với mọi \(\displaystyle x ≥ 0\) và \(\displaystyle x ≠ 1\)

Nên: 

\(\displaystyle {{x + 2} \over {x\sqrt x  + 1}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {x - 1}} < 1\)

\(\displaystyle \eqalign{  &  \Leftrightarrow {{x + 2} \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} < 1  \cr  &  \Leftrightarrow {{x + 2 + x - 1 - \left( {x - \sqrt x  + 1} \right)} \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} < 1  \cr  &  \Leftrightarrow {{x + \sqrt x } \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} < 1  \cr  &  \Leftrightarrow {{\sqrt x } \over {x - \sqrt x  + 1}} < 1  \cr} \)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} - 1 < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x - x + \sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - \left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0
\end{array}\)

Ta có: \(\displaystyle x\sqrt x  + 1 > 0\) và \(\displaystyle \sqrt x  + 1 > 0 \Rightarrow x - \sqrt x  + 1 > 0\)

Và \(\displaystyle -{\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} < 0\)  với \(\displaystyle x ≥ 0\) và \(\displaystyle x ≠ 1\)

Nên \(\displaystyle \dfrac{{ - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0\) với \(\displaystyle x ≥ 0\) và \(\displaystyle x ≠ 1\)

Vậy \(\displaystyle {{x + 2} \over {x\sqrt x  + 1}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {x - 1}} < 1\) với \(\displaystyle x ≥ 0\) và \(\displaystyle x ≠ 1\) (đpcm)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>>  Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài