Bài 82 trang 108 SGK Toán 8 tập 1

Giải bài 82 trang 108 SGK Toán 8 tập 1. Cho hình 107, trong đó ABCD là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình vuông.

Đề bài

Cho hình 107, trong đó \(ABCD\) là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác \(EFGH\) là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Các tam giác vuông \(AEH, BFE, CGF, DHG\) có:

\(AE = BF = CG = DH\) (1) (gt)

Theo giả thiết \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB=BC=CD=DA\)  (2) (tính chất hình vuông)

Mà: \(AH = AD - DH, BE = AB - AE, \)\(CF = BC - BF, DG = DC - CG \) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AH = BE = CF = DG\)

Nên  \(∆AEH =  ∆BFE =  ∆CGF \)\(=  ∆DHG\) (c.g.c)

Do đó

\(HE = EF = FG = GH\) ( các cạnh tương ứng)    

 \( \Rightarrow \) tứ giác \(EFGH\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)             

và \(\widehat{EHA}\) = \(\widehat{FEB}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Ta có \(\widehat{HEF} = 180^0- (\widehat{HEA}\) + \(\widehat{FEB}) \)

                     \(= 180^0- (\widehat{HEA}\) + \(\widehat{EHA})\)

                     \(= 180^0- 90^0= 90^0\) (Vì tam giác \(AHE\) vuông nên \((\widehat{HEA}\) + \(\widehat{EHA})=90^0\))

\( \Rightarrow \) Hình thoi \(EFGH\) là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)

loigiaihay.com