Giải SBT đại số, hình học toán lớp 9 tập 1, tập 2 Ôn tập chương 1 - Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 96 trang 112 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 96 trang 112 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là ...

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) chia cạnh huyền \(BC\) thành hai đoạn \(BH, CH\) có độ dài lần lượt là \(4cm, 9cm\). Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\). 

a) Tính độ dài đoạn thẳng \(DE\).

b) Các đường thẳng vuông góc với \(DE\) tại \(D\) và tại \(E\) lần lượt cắt \(BC\) tại \(M\) và \(N\). Chứng minh \(M\) là trung điểm của \(BH\) và \(N\) là trung điểm của \(CH\).

c) Tính diện tích tứ giác \(DENM\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng tính chất hình chữ nhật và hệ thức lượng giữa đường cao và hình chiếu trong tam giác vuông.

b) Áp dụng tính chất của hình chữ nhật và tam giác cân.

c) Nhẩm lại dấu hiệu nhận biết hình thang và cách tính diện tích của hình đó.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(HD \bot AB \Rightarrow \widehat {ADH} = 90^\circ \)

\(HE \bot AC \Rightarrow \widehat {AEH} = 90^\circ \)

Tứ giác \(ADHE\) có \(3\) góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Suy ra: \(AH = DE\) (tính chất hình chữ nhật)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và có \(AH\) là đường cao.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:

\(\eqalign{
& A{H^2} = HB.HC = 4.9 = 36 \cr 
& \Rightarrow AH = 6\,(cm) \cr} \)

Vậy \(DE = 6 (cm)\)

b) * Gọi \(G\) là giao điểm của \(AH\) và \(DE\)

Ta có: \(GA = GD = GH = GE\) (tính chất hình chữ nhật ADHE)

Suy ra tam giác \(GHD\) cân tại \(G\)

Ta có:

\(\widehat {GDH} = \widehat {GHD}\,(1)\)

\(\widehat {GDH} + \widehat {MDH} = 90^\circ \,(2)\)

\(\widehat {GHD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \,(3)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\,(4)\)

Suy ra tam giác \(MDH\) cân tại \(M\) \( \Rightarrow MD = MH\,(5)\)

Lại có: \(\widehat {MDH} + \widehat {MDB} = 90^\circ \,(6)\)

\(\widehat {MBD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \) (\(∆BDH\) vuông tại \(D\)) (7)

Từ (4), (6) và (7) suy ra: \(\widehat {MDB} = \widehat {MBD}\)

Suy ra tam giác \(MBD\) cân tại \(M\) \( \Rightarrow MB = MD\,(8)\)

 Từ (5) và (8) suy ra: \(MB = MH\) hay \(M\) là trung điểm của \(BH\).

*Tam giác \(GHE\) cân tại \(G\) (do \(GH=GE\) (cmt))

Ta có: \(\widehat {GHE} = \widehat {GEH}\,(9)\)

\(\widehat {GHE} + \widehat {NHE} = 90^\circ \) (10)

\(\widehat {GEH} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (11)

Từ (9), (10) và (11) suy ra: \(\widehat {NHE} = \widehat {NEH}\) (12)

Suy ra tam giác \(NEH\) cân tại \(N\) \( \Rightarrow NE = NH\) (13)

Lại có: \(\widehat {NEC} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (14)

\(\widehat {NHE} + \widehat {NCE} = 90^\circ \) (\(∆CEH\) vuông tại \(E\)) (15)

Từ (12), (14) và (15) suy ra: \(\widehat {NEC} = \widehat {NCE}\)

Suy ra tam giác \(NCE\) cân tại \(N\) \( \Rightarrow NC = NE\,(16)\)

Từ (13) và (16) suy ra: \(NC = NH\) hay \(N\) là trung điểm của \(CH\). 

c) Tam giác \(BDH\) vuông tại \(D\) có \(DM\) là đường trung tuyến nên:

\(DM = \displaystyle {1 \over 2}BH = {1 \over 2}.4 = 2\,(cm)\)

Tam giác CEH vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên

\(EN = \displaystyle {1 \over 2}CH = {1 \over 2}.9 = 4,5\,(cm)\)

Mà \(MD \bot DE\) và \(NE \bot DE\) nên \(MD // NE\)

Suy ra tứ giác \(DENM\) là hình thang

Vậy 

\(\eqalign{
& {S_{DENM}} = {{DM + NE} \over 2}.DE \cr 
& = {{2 + 4,5} \over 2}.6 = 19,5cm^2. \cr} \) 

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 17 phiếu
Bài tiếp theo
  • Bài 97 trang 122 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 97 trang 122 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông ở A, góc C = 30 độ, BC = 10cm. a) Tính AB, AC. b) Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B...

  • Bài 98 trang 122 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 98 trang 122 sách bài tập toán 9. Cho tam giác AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm. a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác...

  • Bài 99 trang 122 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 99 trang 122 sách bài tập toán 9. Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC. Chứng minh: a) ∆ANL đồng dạng ∆ABC; b) AN.BL.CM = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC...

  • Bài 1.1 phần bài tập bổ sung trang 123 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 1.1 phần bài tập bổ sung trang 123 sách bài tập toán 9. Tam giác ABC có góc A bằng 105 độ, góc B bằng 45 độ, BC = 4cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC...

  • Bài 1.2 phần bài tập bổ sung trang 123 SBT toán 9 tập 1

    Giải 1.2 phần bài tập bổ sung trang 123 sách bài tập toán 9. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính cos MAN...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store