Bài 84 trang 120 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 84 trang 120 sách bài tập toán 9. Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC. a) Chứng minh: ...

Đề bài

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = a, AC = 3a\). Trên cạnh \(AC\) lấy các điểm \(D, E\) sao cho \(AD = DE = EC.\)

a) Chứng minh: \(\displaystyle {{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\)

b) Chứng minh \(∆BDE\)  đồng dạng  \(∆CDB\)

c) Tính tổng \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\) bằng hai cách

Cách 1: Sử dụng kết quả ở câu b);

Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông.

- Các trường hợp bằng nhau của tam giác.

- Sử dụng: Trong tam giác ABC vuông tại A thì \(tan\widehat {ACB} = \displaystyle {{AB} \over {AC}}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(AD = DE = EC = \dfrac{{AC}}{3} = a\)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(ABD\), ta có:

\(B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\)

Suy ra: \(BD = a\sqrt 2 \)

Ta có: 

\(\eqalign{
& {{DE} \over {DB}} = {a \over {a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}; \cr 
& {{DB} \over {DC}} = {{a\sqrt 2 } \over {2a}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)

Vậy \(\displaystyle {{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\)

b) Xét \(∆BDE\) và \(∆CDB\), ta có:

\(\displaystyle {{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\)        (1)

\(\widehat {BDE} = \widehat {BDC}\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(∆BDE\) đồng dạng \(∆CDB\) (c-g-c).

c) * Cách 1:

Ta có: \(∆BDE\) đồng dạng \(∆CDB\) \(\Rightarrow \widehat {BED} = \widehat {CBD}\)

Mặt khác:

\(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = \widehat {BED} + \widehat {BCD}\)\( = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\)         (3)

Trong \(∆BCD\), ta có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\) (tính chất góc ngoài) (4)

Lại có: \(\widehat {ADB} = 45^\circ \) (vì ∆ABD vuông cân tại A) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \)

*  Cách 2:

Ta có: \(AE=AD+DE=2a\) 

Trong tam giác \( ABE\), ta có: 

\(tan\widehat {AEB} = \displaystyle {{AB} \over {AE}} = {a \over {2a}} = {1 \over 2}\)

Suy ra: \(\widehat {AEB} = 26^\circ 34'\)

Trong tam giác vuông \(ABC\), ta có: 

\(tan\widehat {ACB} = \displaystyle {{AB} \over {AC}} = {a \over {3a}} = {1 \over 3}\)

Suy ra: \(\widehat {ACB} = 18^\circ 26'\)

Suy ra \(\widehat {AEB} + \widehat {ACB}=26^\circ 34'+18^\circ 26'=45^0\)

Vậy \(\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4 trên 10 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài