Bài 1.2 phần bài tập bổ sung trang 123 SBT toán 9 tập 1


Giải 1.2 phần bài tập bổ sung trang 123 sách bài tập toán 9. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính cos MAN...

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(BC, CD\). Tính  \(cos\;\widehat {MAN}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vận dụng kiến thức về tỉ số lượng giác và công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết

Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của BC và DC nên \(BM=MC=DN=NC\)\(=2a:2=a\)

Xét tam giác vuông ADN, theo định lý Pytago ta có: 

\(A{N^2} = A{D^2} + D{N^2} \)\(= {\left( {2a} \right)^2} + {a^2} = 5{a^2}\)

\( \Rightarrow AN = a\sqrt 5 \)

Xét tam giác vuông ABM, theo định lý Pytago ta có: 

\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} \)\(= {\left( {2a} \right)^2} + {a^2} = 5{a^2}\)

\( \Rightarrow AM = a\sqrt 5 \)

Kẻ đường cao \(MH\) của tam giác \(AMN\). Ta có \(\sin \widehat {NAM} = \displaystyle {{HM} \over {AM}}\) \( \Rightarrow HM = AM.\sin \widehat {NAM}\) và diện tích tam giác \(AMN\) là:

\({S_{AMN}} = \displaystyle {1 \over 2}AN.MH\)\( = \displaystyle {1 \over 2}AN.AM\sin \widehat {NAM} \) 
\(= \displaystyle {1 \over 2}.a\sqrt 5.a\sqrt 5.\sin \widehat {NAM} \)\( = \displaystyle {{5{a^2}} \over 2}\sin \widehat {NAM}.\)

Mặt khác:

\({S_{AMN}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABM}} - {S_{ADN}}\)\( - {S_{MNC}} \)

\( = {\left( {AB} \right)^2} - \dfrac{1}{2}.AB.BM - \dfrac{1}{2}AD.DN - \dfrac{1}{2}MC.NC\)

\( = {\left( {2a} \right)^2} - \dfrac{1}{2}.2a.a - \dfrac{1}{2}.2a.a - \dfrac{1}{2}a.a\)
\(= 4{a^2} - {a^2}-a^2 - \displaystyle {{{a^2}} \over 2}\)\( =\displaystyle { {3{a^2}} \over 2}. \)

Từ đó: 

\(\begin{array}{l}
{S_{AMN}} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\sin \widehat {NAM} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\\
\Rightarrow \sin \widehat {NAM} = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{2}}}{{\dfrac{{5{a^2}}}{2}}} = \dfrac{3}{5}
\end{array}\)

Vì \({\sin ^2}\widehat {NAM} + {\cos ^2}\widehat {NAM} = 1\) nên:

\(\cos \widehat {NAM} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\widehat {NAM}}\)\(  = \sqrt {1 - \displaystyle {9 \over {25}}}  = \displaystyle {4 \over 5}.\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài