Bài 8 trang 142 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O và một điểm D di động trên cung AC. Gọi E là giao điểm

Đề bài

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O và một điểm D di động trên cung AC. Gọi  E là giao điểm của AC và BD, gọi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {AFB} = \widehat {ABD}\)

b) Tích AE.BF không đổi.

Lời giải chi tiết

 

a) Do tam giác ABC đều \( \Rightarrow AB = AC \Rightarrow \,cung\,AB = cung\,AC\) (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau).

Vì \(\widehat {AFB}\) là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên

\(\widehat {AFB} = \dfrac{{sd\,cung\,AB - sd\,cung\,CD}}{2} \)\(\,= \dfrac{{sd\,cung\,AC - sd\,cung\,CD}}{2} \)\(\,= \dfrac{{sd\,cung\,AD}}{2}\).

\(\widehat {ABD}\) là góc nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) chắn cung AD nên \(\widehat {ABD} = \dfrac{{sd\,cung\,AD}}{2}\).

Vậy \(\widehat {AFB} = \widehat {ABD}\).

b)  Xét tam giác ABD và tam giác AFB có:

\(\widehat {BAF}\) chung;

\(\widehat {ABD} = \widehat {AFB}\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AFB\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AF}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{BD}}{{BF}} \)

\(\Rightarrow BF = \dfrac{{AB.BD}}{{AD}} = \dfrac{{AF.BD}}{{AB}}\)

\( \Rightarrow AE.BF = \dfrac{{AB.BD}}{{AD}}.\dfrac{{BE.AD}}{{BC}}\)\(\, = \dfrac{{AB.BD.AD}}{{BC}} = BD.AD\)

\(\begin{array}{l}\Delta BDF \sim \Delta ADC\end{array}\)

Loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Ôn tập cuối năm – Hình học 9

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com