Giải bài tập Tài liệu Dạy - học Toán lớp 9, Phát triển tư duy đột phá trong dạy học Toán 9 Ôn tập cuối năm – Hình học 9

Bài 20 trang 143 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2


Giải bài tập Hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A, B sao cho

Đề bài

Hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A, B sao cho \(\widehat {OAO'} = {90^o}\) và

OO’ = 2R. Tính theo R diện tích phần chung của hai đường tròn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính diện tích các hình viên phân.

Lời giải chi tiết

 

Gọi M là trung điểm của OO’ \( \Rightarrow OM = R \Rightarrow M\) thuộc \(\left( {O;R} \right)\), \(H = AB \cap OO'\).

Xét tam giác vuông OAO’ có: AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền \( \Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}OO' = OM = O'M\).

\( \Rightarrow OA = OM = AM \Rightarrow \Delta OAM\) đều \( \Rightarrow \widehat {AOM} = {60^0}\).

Xét tam giác vuông OAO’ có: \(\widehat {AOM} + \widehat {AO'M} = {90^0}\) (hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông) \( \Rightarrow \widehat {AO'M} = {90^0} - {60^0} = {30^0}\).

Do OO’ là trung trực của AB \( \Rightarrow A\) và B đối xứng nhau qua OO’.

\( \Rightarrow \widehat {AOA'} = {120^0}\) và \(\widehat {AO'B} = {60^0}\)  (tính chất đối xứng).

Xét đường tròn (O) có \({S_{qOAB}} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}.120}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3}\)

Xét tam giác vuông OAH có: \(OH = OA.\cos {60^0} = \dfrac{R}{2};\)

\(\,\,AH = OA.\sin {60^0} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} \) \(\Rightarrow AB = R\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OH.AB \)\(\,= \dfrac{1}{2}.\dfrac{R}{2}.R\sqrt 3  = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}\).

\( \Rightarrow \) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB của đường tròn (O;R) là \({S_1} = {S_{qOAB}} - {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3} - \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Xét đường tròn (O’;R’) ta có: \(O'A = OA.\tan {60^0} = R\sqrt 3 \).

\({S_{qO'AB}} = \dfrac{{\pi R{'^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi .{{\left( {R\sqrt 3 } \right)}^2}.60}}{{360}} \)\(\,= \dfrac{{\pi {R^2}}}{2}\)

Ta có: \(O'H = OO' - OH = 2R - \dfrac{R}{2} = \dfrac{{3R}}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta O'AB}} = \dfrac{1}{2}O'H.AB \)\(\,= \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3R}}{2}.R\sqrt 3  = \dfrac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow \) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB của đường tròn (O’;R’) là \({S_2} = {S_{qO'AB}} - {S_{\Delta O'AB}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} - \dfrac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy diện tích phần chung của hai đường tròn là

\(S = {S_1} + {S_2}\)\(\, = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3} - \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4} + \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} - \dfrac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4} \)\(\,= \dfrac{{5\pi {R^2}}}{6} - {R^2}\sqrt 3  = \left( {\dfrac{{5\pi }}{6} - \sqrt 3 } \right){R^2}\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store