Bài 20 trang 143 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2


Giải bài tập Hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A, B sao cho

Đề bài

Hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A, B sao cho \(\widehat {OAO'} = {90^o}\) và

OO’ = 2R. Tính theo R diện tích phần chung của hai đường tròn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính diện tích các hình viên phân.

Lời giải chi tiết

 

Gọi M là trung điểm của OO’ \( \Rightarrow OM = R \Rightarrow M\) thuộc \(\left( {O;R} \right)\), \(H = AB \cap OO'\).

Xét tam giác vuông OAO’ có: AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền \( \Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}OO' = OM = O'M\).

\( \Rightarrow OA = OM = AM \Rightarrow \Delta OAM\) đều \( \Rightarrow \widehat {AOM} = {60^0}\).

Xét tam giác vuông OAO’ có: \(\widehat {AOM} + \widehat {AO'M} = {90^0}\) (hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông) \( \Rightarrow \widehat {AO'M} = {90^0} - {60^0} = {30^0}\).

Do OO’ là trung trực của AB \( \Rightarrow A\) và B đối xứng nhau qua OO’.

\( \Rightarrow \widehat {AOA'} = {120^0}\) và \(\widehat {AO'B} = {60^0}\)  (tính chất đối xứng).

Xét đường tròn (O) có \({S_{qOAB}} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}.120}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3}\)

Xét tam giác vuông OAH có: \(OH = OA.\cos {60^0} = \dfrac{R}{2};\)

\(\,\,AH = OA.\sin {60^0} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} \) \(\Rightarrow AB = R\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OH.AB \)\(\,= \dfrac{1}{2}.\dfrac{R}{2}.R\sqrt 3  = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}\).

\( \Rightarrow \) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB của đường tròn (O;R) là \({S_1} = {S_{qOAB}} - {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3} - \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Xét đường tròn (O’;R’) ta có: \(O'A = OA.\tan {60^0} = R\sqrt 3 \).

\({S_{qO'AB}} = \dfrac{{\pi R{'^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi .{{\left( {R\sqrt 3 } \right)}^2}.60}}{{360}} \)\(\,= \dfrac{{\pi {R^2}}}{2}\)

Ta có: \(O'H = OO' - OH = 2R - \dfrac{R}{2} = \dfrac{{3R}}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta O'AB}} = \dfrac{1}{2}O'H.AB \)\(\,= \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3R}}{2}.R\sqrt 3  = \dfrac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow \) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB của đường tròn (O’;R’) là \({S_2} = {S_{qO'AB}} - {S_{\Delta O'AB}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} - \dfrac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy diện tích phần chung của hai đường tròn là

\(S = {S_1} + {S_2}\)\(\, = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3} - \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4} + \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} - \dfrac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4} \)\(\,= \dfrac{{5\pi {R^2}}}{6} - {R^2}\sqrt 3  = \left( {\dfrac{{5\pi }}{6} - \sqrt 3 } \right){R^2}\)

 Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Ôn tập cuối năm – Hình học 9

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài