Bài 21 trang 143 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2


Đề bài

Cho điểm C nằm bên trong đoạn thẳng AB. Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB, AC, CB ở về cùng phía với AB. Vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn đường kính AB tại D. Chứng minh diện tích giới hạn bởi ba nửa đường tròn nói trên bằng diện tích hình tròn đường kính CD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn \(S = \pi {R^2}\).

+) Áp dụng hằng đẳng thức và hệ thức lượng trong tam giác vuông chứng minh 2 phần diện tích đó bằng nhau.

Lời giải chi tiết

 

Gọi O, O1, O2, O3 lần lượt là tâm các đường tròn đường kính AB, AC, BC, CD.

Diện tích giới hạn bởi ba đường tròn đường kính AB, AC, CB là:

\(\begin{array}{l}{S_1} = \dfrac{1}{2}\pi .{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{2}\pi .{\left( {\dfrac{{AC}}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{2}\pi {\left( {\dfrac{{BC}}{2}} \right)^2}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{8}\pi \left( {A{B^2} - A{C^2} - B{C^2}} \right)\end{array}\)

Ta có: \(AB = AC + BC\) \( \Rightarrow A{B^2} = {\left( {AC + BC} \right)^2} = A{C^2} + B{C^2} + 2AC.BC\)

\( \Rightarrow {S_1} = \dfrac{1}{8}\pi \left( {A{C^2} + B{C^2} + 2AC.BC - A{C^2} - B{C^2}} \right) \)\(\,= \dfrac{1}{4}\pi .AC.BC\)

Diện tích hình tròn đường kính \(CD\) là \({S_2} = \pi {\left( {\dfrac{{CD}}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\pi C{D^2}\) .

Ta có: \(\widehat {ADB}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB \( \Rightarrow \widehat {ADB} = {90^0} \Rightarrow \Delta ABD\) vuông tại D.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD có: \(C{D^2} = AC.BC\)

\( \Rightarrow {S_2} = \dfrac{1}{4}\pi .AC.BC = {S_1}\,\,\left( {dpcm} \right)\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Ôn tập cuối năm – Hình học 9

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.