Bài 3 trang 148 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1


Giải bài tập Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ dây DE vuông góc với AO tại I là trung điểm của AO.

Đề bài

Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ dây DE vuông góc với AO tại I là trung điểm của AO.

a) Chứng minh rằng tam giác ADB vuông. Tính AD, DB theo R.

b) Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại D cắt đường thẳng AB tại M. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Chứng minh rằng : MA.MB = MI.MO.

d) Trên đường tròn (O) lấy điểm N ( N nằm trên nửa mặt phẳng bờ DE chứa điểm A và \(N \ne A\)). Tiếp tuyến với (O) tại N cắt MD ở P và cắt ME ở Q. Trường hợp cho \(\widehat {DME} = {60^o}\), tính theo R chu vi tam giác MPQ.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng tính chất : góc có đỉnh nằm trên đường tròn và chắn nửa đường tròn là góc vuông.

b) Chứng minh \(\angle MEO = {90^0}\).

c) Sử dụng các tam giác đồng dạng.

d) Sử dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, chứng minh \({C_{\Delta MPQ}} = 4DI\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính DI.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có \(\widehat {ADB}\) chắn nửa đường tròn đường kính \(AB \Rightarrow \widehat {ADB} = {90^0}\).

Do đó tam giác \(ADB\) vuông tại \(D\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADB có: \(A{D^2} = AB.AI = 2R.\dfrac{R}{2} = {R^2} \) \(\Leftrightarrow AD = R\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ADB có:

\(D{B^2} = A{B^2} - A{D^2} = {\left( {2R} \right)^2} - {R^2} = 3{R^2}\) \( \Rightarrow DB = R\sqrt 3 \).

b) Xét tam giác vuông ODI và tam giác vuông OEI có:

\(OI\,\,chung\)

\(ID = IE\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow \Delta ODI = \Delta OEI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \angle DOI = \angle EOI\) hay \(\angle MOD = \angle MOE\).

Xét \(\Delta OMD\) và \(\Delta OME\) có :

\(\begin{array}{l}OM\,\,chung;\\\angle MOD = \angle MOE\,\,\left( {cmt} \right)\\OD = OE = R\\ \Rightarrow \Delta OMD = \Delta OME\,\,\left( {c.g.c} \right)\\ \Rightarrow \angle MEO = \angle MDO = {90^0}\end{array}\)

Mà \(OE\) là bán kính của \(\left( O \right) \Rightarrow ME\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(E\).

c) Ta có : \(\angle ADM + \angle ADO = \angle MDO = {90^0}\)

\(OA = OD = AD = R \Rightarrow \Delta OAD\) đều \( \Rightarrow \angle ODA = \angle OAD = {60^0}\)

Xét tam giác vuông ABD có : \(\angle OAD + \angle ABD = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle ADM = \angle ABD\).

Xét \(\Delta ADM\) và \(\Delta DBM\) có :

\(\begin{array}{l}\angle BMD\,\,chung\\\angle ADM = \angle ABD\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ADM \sim \Delta DBM\,\,\left( {g.g} \right) \\\Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MD}}{{MB}} \\\Rightarrow M{D^2} = MA.MB\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ODM có : \(M{D^2} = MI.MO\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MA.MB = MI.MO\).

d) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có : \(PD = PN;\,\,QE = QN\)

Ta có : Chu vi tam giác MPQ là:

\({C_{\Delta MPQ}} = MP + MQ + PQ \)\(\,= MP + MQ + PN + QN = MD + ME\).

Mà \(MD = ME\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau). Lại có \(\angle DME = {60^0} \) \(\Rightarrow \Delta MDE\) đều

\( \Rightarrow MD = ME = DE\) \( \Rightarrow {C_{\Delta MPQ}} = 2DE = 4DI\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD ta có :

\(D{I^2} = AI.BI = \dfrac{R}{2}.\dfrac{{3R}}{2} = \dfrac{{3{R^2}}}{4}\\ \Rightarrow DI = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy khi \(\angle DME = {60^0}\) thì \({C_{\Delta MPQ}} = 4.\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} = 2R\sqrt 3 \).

 Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - Ôn tập chương 2 - Hình học 9

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài