Bài 7 trang 142 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn và H là hình chiếu của M

Đề bài

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn và H là hình chiếu của M trên AB. Hãy xác định vị trí của M để AH + HM đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Lời giải chi tiết

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\({\left( {AH + HM} \right)^2} \le 2\left( {A{H^2} + H{M^2}} \right) = 2A{M^2} \)

\(\Rightarrow AH + HM \le AM\sqrt 2 \).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow AH = HM\), khi đó tam giác AHM vuông cân tại H.

\( \Rightarrow \widehat {MAH} = {45^0} \Rightarrow \widehat {MAB} = {45^0}\).

Ta có \(\widehat {AMB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta MAB\) vuông tại M. Mà \(\widehat {MAB} = {45^0} \Rightarrow \Delta MAB\) vuông cân tại M \( \Rightarrow MA = AB.\sin {45^0} = 2R.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = R\sqrt 2 \).

Vậy \({\left( {AH + HM} \right)_{\max }} = AM\sqrt 2  \)\(\,= R\sqrt 2 .\sqrt 2  = 2R\).

 Loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Ôn tập cuối năm – Hình học 9

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com