Bài 7 trang 134 SGK Toán 9 tập 2


Giải bài 7 trang 134 SGK Toán 9 tập 2. Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D và E sao cho góc DOE = 60o.

Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC\), \(O\) là trung điểm của \(BC\). Trên các cạnh \(AB, AC\) lần lượt lấy các điểm di động \(D\) và \(E\) sao cho góc \(\widehat {DOE} = {60^0}\).

a) Chứng minh tích \(BD.CE\) không đổi.

b) Chứng minh \(ΔBOD\) đồng dạng \(ΔOED\). Từ đó suy ra tia \(DO\) là tia phân giác của góc \(BDE\). 

c) Vẽ đường tròn tâm \(O\) tiếp xúc với \(AB\). Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với \(DE\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Chứng minh các cặp tam giác bằng nhau suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

+) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết

                        

a) Chứng minh tích \(BD.CE\) không đổi.

Ta có \(\widehat {DOC}\) là góc ngoài của \(∆ BDO\) nên: \(\widehat {DOC} = \widehat B + {\widehat D_1}\)

hay \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = \widehat B + \widehat {{D_1}} \Leftrightarrow {60^0} + \widehat {{O_2}} = {60^0} + \widehat {{D_1}}\)

\(\Leftrightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{D_1}}\) 

Xét hai tam giác: \(∆BOD\) và \(∆CEO\), ta có: \(\widehat B = \widehat C = {60^0}\) (gt)  và \(\widehat {{O_2}} = \widehat {{D_1}}\) (cmt) 

\(⇒ ∆BOD\) đồng dạng \(∆CEO\) (g.g)

\( \displaystyle \Rightarrow {{B{\rm{D}}} \over {BO}} = {{CO} \over {CE}} \Rightarrow B{\rm{D}}.CE = BO.CO\)

hay \(\displaystyle B{\rm{D}}.CE = {{BC} \over 2}.{{BC} \over 2} = {{B{C^2}} \over 4}\) (không đổi)

Vậy \(\displaystyle B{\rm{D}}.CE = {{B{C^2}} \over 4}\) không đổi

b) Chứng minh \(ΔBOD\) đồng dạng \(ΔOED\)

Từ câu (a) ta có: \(∆BOD\) đồng dạng \(∆CEO\)

\( \displaystyle \Rightarrow {{O{\rm{D}}} \over {OE}} = {{B{\rm{D}}} \over {OC}} = {{B{\rm{D}}} \over {OB}}\) (do \(OC = OB\))

Mà \(\widehat B = \widehat {DOE} = {60^0}\) 

Vậy \(ΔBOD\) đồng dạng \(ΔOED\) (c.g.c) \(\Rightarrow \widehat {B{\rm{D}}O} = \widehat {O{\rm{D}}E}\)  

hay \(DO\) là tia phân giác của góc \(BDE\)

c) Vẽ \(OK \bot DE\) và gọi \(I\) là tiếp điểm của \((O)\) với \(AB\), khi đó \(OI \bot AB\). Xét hai tam giác vuông: \(IDO\) và \(KDO\), ta có:

\(DO\) chung 

\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) (do \(DO\) là tia phân giác của góc \(BDE\))

Vậy \(ΔIDO= ΔKDO \, (ch - gn)\)\( ⇒ OI = OK\) (các cạnh tương ứng).

Điều này chứng tỏ rằng \(OK\) là bán kính của \((O)\) và \(OK \bot DE\) nên \(K\) là tiếp điểm của \(DE\) với \((O)\) hay \(DE\) tiếp xúc với đường tròn \((O).\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 12 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com