Bài 53 trang 30 SGK Toán 9 tập 1

Bình chọn:
4.3 trên 63 phiếu

Giải bài 53 trang 30 SGK Toán 9 tập 1. Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

a) \(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};\)

b) \(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}};\)

c) \(\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}};\)

d) \(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học:  Với hai số \(a,\ b\) không âm, ta có:

                     \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\).

+ \( \sqrt{ab}=\sqrt a. \sqrt b\),  với \(a,\ b \ge 0\).

+ \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\),  với \(a \ge 0,\ b > 0\).

+ \(|a| = a\),  nếu \(a \ge 0\)

     \(|a|=-a\)  nếu \(a < 0\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt {18}.\sqrt{(\sqrt 2 - \sqrt 3)^2}\)

                               \(=\sqrt{9.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3^2.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|\)

                               \(=3\sqrt{2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})\)

                               \(=3\sqrt {2.3}- 3(\sqrt 2)^2\)

                               \(=3\sqrt 6 -3.2=3\sqrt{6}-6\).

Vì  \( 2 < 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 < \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 -\sqrt 3 <0\)

Do đó: \( |\sqrt 2 -\sqrt 3|=-(\sqrt 2 -\sqrt 3)=-\sqrt 2 +\sqrt 3\)

                               \(=\sqrt 3-\sqrt2\).

b) Ta có:

\(ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2}+\dfrac{1}{a^2b^2}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{a^2b^2}}\)

                         \(=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{a^2b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{(ab)^2}}\)

                         \(=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}\)

Nếu \(ab \ge 0\) thì \(|ab|=ab\)

          \( \Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}=\sqrt{a^2b^2+1}\).

Nếu \(ab < 0\) thì \(|ab|=-ab \)

           \(\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{-ab}=-\sqrt{a^2b^2+1}\).

c) Ta có: 

\(\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{a.b}{b^{3}.b}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^4}+\dfrac{a}{b^4}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{ab+a}{b^4}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{\sqrt{(b^2)^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{|b^2|}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{b^2}\).

Vì \(b^2 > 0\) với mọi \( b \ne 0\) nên \( |b^2|=b^2\).

d) Ta có: 

\(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt a)^2+\sqrt{a}.\sqrt b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt a (\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

\(=\sqrt a\).

Vì theo đề bài các căn thức có nghĩa nên ta có:

        \(a > 0,\ b > 0 \Rightarrow \sqrt{ab}=\sqrt a.\sqrt b\).

 

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan