Giải toán 9, giải bài tập toán lớp 9 đầy đủ đại số và hình học

Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc ha..

Bài 53 trang 30 SGK Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

LG a

\(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};\)

Phương pháp giải:

+ \( \sqrt{ab}=\sqrt a. \sqrt b\), với \(a,\ b \ge 0\).

+ \(|a| = a\), nếu \(a \ge 0\)

\(|a|=-a\) nếu \(a < 0\).

+ Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số \(a,\ b\) không âm, ta có:

\(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt {18}.\sqrt{(\sqrt 2 - \sqrt 3)^2}\)

\(=\sqrt{9.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3^2.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|\)

\(=3\sqrt{2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})\)

\(=3\sqrt {2.3}- 3(\sqrt 2)^2\)

\(=3\sqrt 6 -3.2=3\sqrt{6}-6\).

(Vì \( 2 < 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 < \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 -\sqrt 3 <0\)

Do đó: \( |\sqrt 2 -\sqrt 3|=-(\sqrt 2 -\sqrt 3)=-\sqrt 2 +\sqrt 3\)\(=\sqrt 3-\sqrt2\)).

LG b

\(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}\)

Phương pháp giải:

+ \( \sqrt{ab}=\sqrt a. \sqrt b\), với \(a,\ b \ge 0\).

+ \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\), với \(a \ge 0,\ b > 0\).

+ \(|a| = a\), nếu \(a \ge 0\)

\(|a|=-a\) nếu \(a < 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2}+\dfrac{1}{a^2b^2}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{a^2b^2}}\)

\(=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{a^2b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{(ab)^2}}\)

\(=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}\)

Nếu \(ab > 0\) thì \(|ab|=ab\)

\( \Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}=\sqrt{a^2b^2+1}\).

Nếu \(ab < 0\) thì \(|ab|=-ab \)

\(\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{-ab}=-\sqrt{a^2b^2+1}\).

LG c

\(\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}\)

Phương pháp giải:

+ \( \sqrt{ab}=\sqrt a. \sqrt b\), với \(a,\ b \ge 0\).

+ \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\), với \(a \ge 0,\ b > 0\).

+ \(|a| = a\), nếu \(a \ge 0\)

\(|a|=-a\) nếu \(a < 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{a.b}{b^{3}.b}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^4}+\dfrac{a}{b^4}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{ab+a}{b^4}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{\sqrt{(b^2)^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{|b^2|}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{b^2}\).

(Vì \(b^2 > 0\) với mọi \( b \ne 0\) nên \( |b^2|=b^2\)).

LG d

\(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

Phương pháp giải:

+ \( \sqrt{ab}=\sqrt a. \sqrt b\), với \(a,\ b \ge 0\).

+ \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\), với \(a \ge 0,\ b > 0\).

+ \(|a| = a\), nếu \(a \ge 0\)

\(|a|=-a\) nếu \(a < 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt a)^2+\sqrt{a}.\sqrt b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt a (\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

\(=\sqrt a\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{a + \sqrt {ab} }}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \dfrac{{\left( {a + \sqrt {ab} } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\\
= \dfrac{{a\sqrt a - a\sqrt b + \sqrt {ab} .\sqrt a - \sqrt {ab} .\sqrt b }}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{a\sqrt a - a\sqrt b + a\sqrt b - b\sqrt a }}{{a - b}}\\
= \dfrac{{a\sqrt a - b\sqrt a }}{{a - b}}\\
= \dfrac{{\sqrt a \left( {a - b} \right)}}{{a - b}} = \sqrt a
\end{array}\)

Loigiaihay.com