Bài 20 trang 140 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho phương trình

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 2mx - {m^2} - 1 = 0\)  (1) với x là ẩn số.

a) Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.

c) Tìm m để (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} =  - \dfrac{5}{2}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(\Delta ' > 0\,\,\forall m\).

b) Áp dụng định lí Vi-ét. Rút m từ 1 trong 2 phương trình thay vào phương trình còn lại.

c) Áp dụng định lí Vi-ét.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - 1\left( { - {m^2} - 1} \right) \)\(\,= {m^2} + {m^2} + 1 \)\(\,= 2{m^2} + 1 > 0\,\,\forall m \Rightarrow \) Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} =  - {m^2} + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\\{x_1}{x_2} =  - {m^2} + 1\end{array} \right. \\ \Rightarrow {x_1}{x_2} =  - \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{4} + 1\).

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} - 4 = 0\).

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} =  - \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} =  - \dfrac{5}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} =  - \dfrac{5}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4{m^2} + 2{m^2} - 2}}{{ - {m^2} + 1}} =  - \dfrac{5}{2}\\ \Leftrightarrow 12{m^2} - 4 = 5{m^2} - 5 \Leftrightarrow 7{m^2} =  - 1\end{array}\)

(vô nghiệm).

Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Ôn tập cuối năm – Đại số 9

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa . Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu