Bài 19 trang 140 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho phương trình

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} + \sqrt 3 x - \sqrt 5  = 0\) . Không giải phương trình, hãy chứng minh phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 và tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(\dfrac{1}{{{x_1}^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}}\)

b) \(x_1^2 + x_2^2\)

c) \(\dfrac{1}{{{x_1}^3}} + \dfrac{1}{{x_2^3}}\)

d) \(\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết

Phương trình \({x^2} + \sqrt 3 x - \sqrt 5  = 0\) có \(ac =  - \sqrt 5  < 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \sqrt 3 \\{x_1}{x_2} =  - \sqrt 5 \end{array} \right.\).

a) \(\dfrac{1}{{{x_1}^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}} = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{x_1^2x_2^2}} \)\(\,= \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 5 }}{5}\)

b) \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)\(\, = 3 + 2\sqrt 5 \)

c)

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{x_1^3}} + \dfrac{1}{{x_2^3}} = \dfrac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^3x_2^3}}\\ = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^3}}}\\ = \dfrac{{{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^3} - 3.\left( { - \sqrt 5 } \right).\left( { - \sqrt 3 } \right)}}{{{{\left( { - \sqrt 5 } \right)}^3}}}\\ = \dfrac{{3\sqrt 3  + 3\sqrt {15} }}{{5\sqrt 5 }} = \dfrac{{3\sqrt {15}  + 15\sqrt 3 }}{{25}}\end{array}\)

d) Ta có \({x_1}{x_2} =  - \sqrt 5  \Rightarrow \)Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu \( \Rightarrow \) Biểu thức \(\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} \) không xác định.

 Loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Ôn tập cuối năm – Đại số 9

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay