Bài 6 trang 83 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2

Giải bài tập Chứng minh rằng :

Đề bài

Chứng minh rằng :

a) ${1 \over 2} - {1 \over 4} + {1 \over 8} - {1 \over {16}} + {1 \over {32}} - {1 \over {64}} < {1 \over 3}$ .

b) ${1 \over 3} - {2 \over {{3^2}}} + {3 \over {{3^3}}} - {4 \over {{3^4}}} + ... + {{99} \over {{3^{99}}}} - {{100} \over {{3^{100}}}} < {3 \over {16}}$ .

Lời giải chi tiết

a)Cách 1:

Đặt $A = {1 \over 2} - {1 \over 4} + {1 \over 8} - {1 \over {16}} + {1 \over {32}} - {1 \over {64}} \Rightarrow 2A = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 4} - {1 \over 8} + {1 \over {16}} - {1 \over {32}}$

$\eqalign{ & 2A + A = \left( {1 - {1 \over 2} + {1 \over 4} - {1 \over 8} + {1 \over {16}} - {1 \over {32}}} \right) + \left( {{1 \over 2} - {1 \over 4} + {1 \over 8} - {1 \over {16}} + {1 \over {32}} - {1 \over {64}}} \right) \cr & 3A = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 2} + {1 \over 4} - {1 \over 4} - {1 \over 8} + {1 \over 8} + {1 \over {16}} - {1 \over {16}} - {1 \over {32}} + {1 \over {32}} - {1 \over {64}} \cr & 3A = 1 - {1 \over {64}} \Leftrightarrow 3A = {{63} \over {64}}. \cr}$

Mà ${{63} \over {64}} < 1.$ Nên 3A < 1. Vậy $A < {1 \over 3}.$

Cách 2:

${1 \over 2} - {1 \over 4} + {1 \over 8} - {1 \over {16}} + {1 \over {32}} - {1 \over {64}} = {{32 - 16 + 8 - 4 + 2 - 1} \over {64}} = {{21} \over {64}} < {{21} \over {63}} = {1 \over 3}.$

b) Cách 1:

Đặt $A = {1 \over 3} - {2 \over {{3^2}}} + {3 \over {{3^3}}} - {4 \over {{3^4}}} + ... + {{99} \over {{3^{99}}}} - {{100} \over {{3^{100}}}} \Rightarrow {1 \over 3}A = {1 \over {{3^2}}} - {2 \over {{3^3}}} + {3 \over {{3^4}}} - {4 \over {{3^5}}} + ... + {{99} \over {{3^{100}}}} - {{100} \over {{3^{101}}}}$

Do đó: $A + {1 \over 3}A = {1 \over 3} - {1 \over {{3^2}}} + {1 \over {{3^3}}} - {1 \over {{3^4}}} + ... - {1 \over {{3^{100}}}} - {{100} \over {{3^{101}}}}$

$4A = 2 - {1 \over 3} + {1 \over {{3^2}}} - {1 \over {{3^3}}} + ... - {1 \over {{3^{99}}}} - {{100} \over {{3^{100}}}} \Rightarrow 12A = 3 - 1 + {1 \over 3} - {1 \over {{3^2}}} + ... - {1 \over {{3^{98}}}} - {{100} \over {{3^{99}}}}$

Do đó: $16A = 3 - {{101} \over {{3^{99}}}} - {{100} \over {{3^{100}}}}.$ Mà $3 - {{101} \over {{3^{99}}}} - {{100} \over {{3^{100}}}} < 3.$ Nên 16A < 3.

Vậy $A < 3.{1 \over {16}} = {3 \over {16}}.$

Cách 2:

Đặt $A = {1 \over 3} - {2 \over {{3^2}}} + {3 \over {{3^3}}} - {4 \over {{3^4}}} + ... + {{99} \over {{3^{99}}}} - {{100} \over {{3^{100}}}} \Rightarrow {2 \over 3}A = + {2 \over {{3^2}}} - {4 \over {{3^2}}} + {6 \over {{3^4}}} - ... - {{196} \over {{3^{99}}}} + {{198} \over {{3^{100}}}} - {{200} \over {{3^{101}}}}$

${1 \over {{3^2}}}A = + {1 \over {{3^3}}} - {2 \over {{3^4}}} + ... + {{97} \over {{3^{99}}}} - {{98} \over {{3^{100}}}} + {{99} \over {{3^{101}}}} - {{100} \over {{3^{102}}}} - {{101} \over {{3^{101}}}} - {{100} \over {{3^{102}}}} \Leftrightarrow {{16} \over 9}A = {1 \over 3}$

Ta có: ${1 \over 3} - {{101} \over {{3^{101}}}} - {{100} \over {{3^{102}}}} < {1 \over 3}.$ Do đó: ${{16} \over 9}A < {1 \over 3} \Rightarrow A < {1 \over 3}:{{16} \over 9} = {3 \over {16}}.$

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 7 trang 83 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Nhà Hùng có nuôi một đàn vịt 20 con. Mẹ bạn bán được
Bài 8 trang 83 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Bài thơ Nhớ con sông quê hương của Tế Hanh có 38 câu. Bạn Mai đã học thuộc được
Bài 9 trang 83 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Trong các từ sau, từ nào có số chữ A bằng
Bài 10 trang 83 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Đọc câu văn sau : “Sáng nào bạn Nam cũng dậy sớm, tập thể dục, ôn bài, làm vệ sinh cá nhân, ăn sáng rồi đi đến trường”. Em hãy cho biết tỉ số giữa số động từ và số từ có trong câu văn.
Bài 11 trang 83 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Hai chị em Mai và Lan được ba cho 50 ngàn đồng để mua tập
Bài 12 trang 84 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Tết năm nay Lan được tiền lì xì tổng cộng là 1 250 000 đồng. Mẹ Lan giúp em đem gửi tiền này gởi ngân hàng với lãi suất 9% một năm. Hỏi sau một năm, Lan lấy ra cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu tiền ?
Bài 13 trang 84 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Một hình chữ nhật có chu vi 36 cm, chiều rộng bằng
Bài 14 trang 84 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Bạn Trúc gửi báo Khăn quàng đỏ một bài viết 1212 từ. Chị phụ trách biên tập chỉnh sửa và rút
Bài 15 trang 84 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Tìm một phân số có giá trị bằng
Bài 16 trang 84 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Một hộp kẹo có 200 viên kẹo, trong đó
Bài 17 trang 84 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Bác Tám thu hoạch được 50 kg khoai lang. Bác đã bán được
Bài 18 trang 84 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Để giải một bài toán, người ta phải sử dụng phép toán sau
Bài 19 trang 84 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Việt Nam có khoảng 200 loài rắn, trong đó khoảng
Bài 20 trang 84 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Hạt me chiếm
Bài 21 trang 84 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập a) Cầu Cần Thơ bắc qua sông Hậu có chiều dài là 2750 m. Trên một bản đồ, chiều dài này đo được 5,5 cm. Tính tỉ lệ xích của bản đồ nói trên.
Bài 22 trang 84 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Trường bạn Mai có 80 học sinh biết chơi các loại nhạc cụ. Tỉ số phần trăm của các loại nhạc cụ mà học sinh trong trường tham gia như sau :
Bài 5 trang 83 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Chứng tỏ rằng
Bài 4 trang 83 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập a) Tìm n nguyên để A là một phân số.
Bài 3 trang 83 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Tìm x, biết :
Bài 2 trang 83 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Tính bằng cách hợp lí :
Bài 1 trang 83 Tài liệu dạy – học toán 6 tập 2
Giải bài tập Tính

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.