Bài 31 trang 23 SGK Toán 8 tập 2

Bình chọn:
3.9 trên 213 phiếu

Giải bài 31 trang 23 SGK Toán 8 tập 2. Giải các phương trình:

Đề bài

Giải các phương trình:

a) \(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\)

b) \(\dfrac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} \)\(\,= \dfrac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

c) \(1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}\)

d) \(\dfrac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{2x + 7}}\)\(\, = \dfrac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Bước 2: Qui đồng khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.

*) Giải phương trình tích: \(A(x).B(x)=0\)

\( \Leftrightarrow A(x) = 0\) hoặc \(B(x) =0\)

Lời giải chi tiết

a) \(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\)

Ta có: \({x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\)

\( = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} \right)\)

\( = \left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + 2.x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \right]\)

\( = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \right]\) 

Ta có: \({\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \geqslant 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\) nên \({\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)

Do đó: \({x^3} - 1 \ne 0\) khi \(x - 1 ≠ 0⇔ x ≠ 1\)

ĐKXĐ:  \(x ≠ 1\)

MTC: \({x^3} - 1\)

\(  \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^3} - 1}}\)

\(\Rightarrow {x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2x\left( {x - 1} \right) \)

\(\Leftrightarrow  - 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} - 2x\)

\( \Leftrightarrow 0 = 2{x^2} - 2x + 2{x^2} - x - 1\)

\( \Leftrightarrow 0 = 4{x^2} - 3x - 1\)

\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 4x+x - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x - 1 = 0 \hfill \\
4x + 1 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
4x = - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1}\text{( loại)} \cr {x = - \dfrac{1}{4}}\text{(thỏa mãn)}\cr} }\right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - \dfrac{1}{4}\)

b) \(\dfrac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} \)\(\,= \dfrac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

ĐKXĐ: \(x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3\)

MTC: \((x-1)(x-2)(x-3)\)

\( \Rightarrow 3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 2} \right) = x - 1\)

\(\Leftrightarrow 3x - 9 + 2x - 4 = x - 1\)

\( \Leftrightarrow 5x - 13 = x - 1\)

\( \Leftrightarrow 5x - x =  - 1 + 13\)

\(⇔ 4x = 12\)

\( \Leftrightarrow x = 12:4\)

\(⇔ x = 3\) (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) \(1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}\)

Ta có: \(8 + {x^3} ={2^3} + {x^3}\)\(\,= \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\)

\( = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1 + 3} \right)\)

\( = \left( {x + 2} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3} \right]\)

\({\left( {x - 1} \right)^2} \geqslant 0\) với mọi \(x\in \mathbb R\) nên \({\left( {x - 1} \right)^2} + 3 > 0\) với mọi \(x\in \mathbb R\)

Do đó:  \(8 + {x^3} \ne 0\) khi \(x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ -2\)

ĐKXĐ: \(x ≠ -2\)

MTC: \(8 + {x^3}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{8 + {x^3}}}{{8 + {x^3}}} + \dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{8 + {x^3}}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}\)

\( \Rightarrow {x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12 \)

\( \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 12 - 8 - 4\)

\(\Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 2x - x - 2} \right] = 0\)

⇔\(x[ x(x+2) - (x+2) ] = 0\)

⇔ \(x(x + 2)(x - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x + 2 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\left( \text{ thỏa mãn} \right)\\
x = - 2\left( \text{ loại} \right)\\
x = 1\left( \text{ thỏa mãn} \right)
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {0;1} \right\}\).

d) \(\dfrac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{2x + 7}} \)\(\,= \dfrac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

ĐKXĐ: \(x \ne 3,x \ne  - 3,x \ne  - \dfrac{7}{2}\)

MTC: \({\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}\left( {2x + 7} \right)\)

\( \Rightarrow 13\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) \)\(= 6\left( {2x + 7} \right) \)

\(\Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 13x + 30 = 12x + 42\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 13x + 30 - 12x - 42 = 0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) - 3\left( {x + 4} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 3 = 0\\
x + 4 = 0
\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\left( \text{không thỏa mãn} \right)\\
x = - 4\left( \text{thỏa mãn} \right)
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = -4\).

Loigiaihay.com

 

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 8 - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com mọi lúc, mọi nơi đầy đủ các môn: Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sử, Địa cùng các thầy cô giáo dạy giỏi, nổi tiếng.