Bài 17 trang 16 SGK Toán 9 tập 2


Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.

LG a

\(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải:

Cho hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} ax +by =c \ (1) & & \\ a'x+b'y=c' \ (2)  & & \end{matrix}\right.\)

+) Từ phương trình (1), rút \(x\) theo \(y\)   (nếu \(a \ne 0\)), ta được: \(x=\dfrac{c-by}{a}\) (Hoặc có thể rút \(y\) theo \(x\) nếu \(b \ne 0\)).

+) Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình (2) ta được phương trình bậc nhất một ẩn \(y\). Giải phương trình này tìm \(y\).

+) Thế \(y\) vào phương trình (1) tìm được \(x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \hfill \cr 
x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \hfill \cr 
x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left( {\sqrt 2-y\sqrt 3  } \right)\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \ (1) \hfill \cr 
x = \sqrt 2  - y\sqrt 3 \ (2) \hfill \cr}  \right.\)

Giải phương trình \((1)\), ta được:

\(( \sqrt 2 - y\sqrt 3)\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\)

\( \Leftrightarrow (\sqrt 2)^2  - y\sqrt 3 . \sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \)

\( \Leftrightarrow 2 - y\sqrt 3 . \sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \)

\( \Leftrightarrow -y\sqrt 3. \sqrt 2  - y\sqrt 3 = 1 - 2\)  

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow - y\sqrt 6 - y\sqrt 3 = - 1\\
\Leftrightarrow y\left( {\sqrt 6 + \sqrt 3 } \right) = 1\\
\Leftrightarrow y = \dfrac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }}\\
\Leftrightarrow y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}\\
\Leftrightarrow y = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{3}
\end{array}\) 

Thay \(y\) tìm được vào phương trình \((2)\), ta được:

\(x = \sqrt 2  - \dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{3}.\sqrt 3\)

\( \Leftrightarrow  x=\sqrt 2  - \dfrac{\sqrt 3 .\sqrt 3(\sqrt 2 -1)}{3} \)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt 2  - \dfrac{ 3(\sqrt 2 -1)}{3} =\sqrt 2  - (\sqrt 2 -1) \)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt 2 -\sqrt 2 +1=1.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: \( {\left( 1;\dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{3} \right)}\)

LG b

\(\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải:

Cho hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} ax +by =c \ (1) & & \\ a'x+b'y=c' \ (2)  & & \end{matrix}\right.\)

+) Từ phương trình (1), rút \(x\) theo \(y\)   (nếu \(a \ne 0\)), ta được: \(x=\dfrac{c-by}{a}\) (Hoặc có thể rút \(y\) theo \(x\) nếu \(b \ne 0\)).

+) Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình (2) ta được phương trình bậc nhất một ẩn \(y\). Giải phương trình này tìm \(y\).

+) Thế \(y\) vào phương trình (1) tìm được \(x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
x - 2\sqrt 2 y = \sqrt 5 \hfill \cr 
x\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10} \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2\sqrt 2 y + \sqrt 5 \ (1)  \hfill \cr 
\left( {2\sqrt 2 y + \sqrt 5 } \right).\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10}\ (2)  \hfill \cr}  \right.\)

Giải phương trình \((2)\), ta được:

\(\left( {2\sqrt 2 y + \sqrt 5 } \right).\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10}\)

\(\Leftrightarrow 2(\sqrt 2 .\sqrt 2)y + \sqrt 5 .\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10}\)

\(\Leftrightarrow 4y + \sqrt{10}+y=1- \sqrt{10}\)

\(\Leftrightarrow 4y +y=1- \sqrt{10}- \sqrt{10} \) 

\(\Leftrightarrow 5y=1-2 \sqrt{10}\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5}\) 

Thay \(y=\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5}\) vào \((1)\), ta được:

\(x = 2\sqrt 2 .\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5} + \sqrt 5= \dfrac{2\sqrt 2 -4 \sqrt{20}}{5} + \sqrt 5\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt 2 -4 .2\sqrt{5}}{5} + \sqrt 5=\dfrac{2\sqrt 2 -8\sqrt{5}+ 5\sqrt 5}{5}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2 \sqrt 2 -3 \sqrt 5}{5}\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là: \((x; y)\) = \({\left(\dfrac{2\sqrt{2} - 3\sqrt{5}}{5};\dfrac{1 - 2\sqrt{10}}{5}\right)}\)

LG c

\(\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}- 1)x - y = \sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải:

Cho hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} ax +by =c \ (1) & & \\ a'x+b'y=c' \ (2)  & & \end{matrix}\right.\)

+) Từ phương trình (1), rút \(x\) theo \(y\)   (nếu \(a \ne 0\)), ta được: \(x=\dfrac{c-by}{a}\) (Hoặc có thể rút \(y\) theo \(x\) nếu \(b \ne 0\)).

+) Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình (2) ta được phương trình bậc nhất một ẩn \(y\). Giải phương trình này tìm \(y\).

+) Thế \(y\) vào phương trình (1) tìm được \(x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x - y = \sqrt 2 \hfill \cr 
x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)y = 1 \hfill \cr} \right. \)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {\sqrt 2  - 1} \right)x - \sqrt 2 \,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + \left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left[ {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)x - \sqrt 2 } \right] = 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải phương trình \((2)\), ta được:

\(x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ { \left( {\sqrt 2 - 1} \right)x} -\sqrt 2 \right] = 1\)

\(\Leftrightarrow  x +  (\sqrt 2 + 1) (\sqrt 2 - 1)x -( \sqrt 2 + 1). \sqrt 2   = 1\)

\(\Leftrightarrow  x +  {\left((\sqrt 2)^2 - 1^2 \right)}x-( 2 + \sqrt 2)  = 1\)

\(\Leftrightarrow x + x  = 1+( 2 + \sqrt 2)\)

\(\Leftrightarrow 2x =3 +\sqrt 2\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}\)

Thay \(x=\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}\) vào \((1)\), ta được:

\(y =  \left( {\sqrt 2 - 1} \right).\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}  - \sqrt 2\)

\( \Leftrightarrow y= \dfrac{(\sqrt 2 - 1 )(3+ \sqrt 2)}{2}  - \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow y= \dfrac{3\sqrt 2 -3 +2 -\sqrt 2}{2}  - \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow y= \dfrac{2\sqrt 2 -1}{2}  - \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow y= \dfrac{2\sqrt 2 -1-2\sqrt 2}{2}  \)

\( \Leftrightarrow y= \dfrac{-1}{2}  \)

Vậy hệ có nghiệm \((x; y) = {\left(\dfrac{3 + \sqrt{2}}{2};\dfrac{-1}{2} \right)}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 107 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí