Đề số 9 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 9 - Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) - Toán 9

Đề bài

Phần I: Trắc nghiệm (2 điểm)

Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng cho các câu hỏi sau:

Câu 1 : Điều kiện để biểu thức\(A = \dfrac{{2017}}{{\sqrt x  - 1}}\) xác định là:

A.\(x > 0\)                  

B.\(x > 1\)

C.\(x > 0,x \ne 1\)        

D.\(x \ge 0,x \ne 1\)

Câu 2 (TH): Cho\(\sqrt {x - 1}  = 2\), giá trị của \(x\) là:

A.\( - 3\)                                  B.3

C.\( - 1\)                                  D.5

Câu 3 : Cho biểu thức \(P = \sqrt {\dfrac{{5a}}{{32}}} .\sqrt {\dfrac{{2a}}{5}} \) với \(a \ge 0\), kết quả thu gọn của \(P\) là:

A.\(\dfrac{{\sqrt a }}{{16}}\).                         B.\(\dfrac{a}{4}\).

C.\(\dfrac{a}{{16}}\).                         D.\(\dfrac{{\sqrt a }}{4}\).

Câu 4 : Trong các hàm số dưới đây, hàm số bậc nhất có đồ thị đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\)là:

A.\(y = {x^2} + 3\)    B.\(y = x - 3\)

C.\(y = 4x\).                D.\(y = 4 - x\).

Câu 5 : Cho 2 đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = \left( {{m^2} + 1} \right)x + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = 5x + m\). Hai đường thẳng đó trùng nhau khi:

A.\(m =  \pm 2\)               B.\(m = 2\)

C.\(m =  - 2\)               D.\(m \ne  \pm 2\)

Câu 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong các hệ thức sau, hệ thức đúng là:

A.\(\sin C = \dfrac{{BC}}{{AC}}\) 

B.\(\cos C = \dfrac{{BC}}{{AC}}\)  

C.\(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) 

D.\(\cot C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)

Câu 7 : Cho hai điểm phân biệt A, B. Số đường thẳng đi qua hai điểm A, B là:

A.0                              B.1

C.2                              D.Vô số

Câu 8 : Cho hình vẽ, MAMB là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O,3cm} \right)\), \(MA = 4cm\). Độ dài đoạn thẳng AB là:

A.4,8cm          B.2,4cm

C.1,2cm          D.9,6cm

 

 

Phần II. Tự luận (8 điểm)

Câu 1: (2 điểm) 

            Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\) với\(x > 0,x \ne 25\).

a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi\(x = 81\).

b) Cho\(P = A.B\), chứng minh rằng \(P = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}\)

c) So sánh \(P\) và\({P^2}\).

Câu 2: (2 điểm) 

Cho hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\) (\(m\)là tham số)

a)Vẽ đồ thị hàm số trên khi\(m =  - 1\). 

b)Tìm \(m\)để hai đường thẳng \(\left( d \right)y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\)và \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Câu 3: (3,5 điểm)

            Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn \(\left( O \right)\)(C khác AB) sao cho\(AC > BC\). Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung AC tại H. Tiếp tuyến tại Acủa đường tròn \(\left( O \right)\) cắt OHtại D. Đoạn thẳng DB cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại E.

a) Chứng minh \(HA = HC,\angle DCO = {90^o}\)

b) Chứng minh rằng \(DH.DO = DE.DB\)

c) Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho Elà trung điểm cạnh AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại K. Đoạn thẳng FK cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh\(MK = MF\).

Câu 4: (0,5 điểm) 

Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \dfrac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\)

Lời giải chi tiết

Phần I:

1D

2D

3B

4C

5B

6C

7B

8A

Phần II:

Câu 1: Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\) với\(x > 0,x \ne 25\).

a)      Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 81\).

Với\(x = 81\) ta có\(A = \dfrac{{\sqrt {81}  - 5}}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{{9 - 5}}{9} = \dfrac{4}{9}\).

Vậy với \(x = 81\) ta có\(A = \dfrac{4}{9}\).

b)     Cho \(P = A.B\), chứng minh rằng \(P = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}\)

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{x + 5\sqrt x  - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}.\end{array}\)

Xét\(P = A.B = \dfrac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} \)\(\;= \dfrac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}} \)\(\;= \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}\).

Vậy \(P = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}\).\(\)

c)      So sánh \(P\) và \({P^2}\).

Xét hiệu \(P - {P^2} = P\left( {1 - P} \right)\).

Nhận thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  + 2 > 0\;\forall x > 0\\\sqrt x  + 5 > 0\;\forall x > 0\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > 0\;\forall x > 0\).               (1)

Xét \(1 - P = 1 - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}} = \dfrac{{\sqrt x  + 5 - \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  + 5}} = \dfrac{3}{{\sqrt x  + 5}}\).

Vì \(\sqrt x  + 5 > 0\;\forall x > 0\)

\(\Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x  + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow 1 - P > 0\;\forall x > 0\).                     (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow P\left( {1 - P} \right) > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P - {P^2} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > {P^2}\;\forall x > 0\).

Vậy \(P > {P^2}\) với mọi x thỏa mãnĐKXĐ.

Câu 2:

Cho hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\) (\(m\)là tham số)

a)      Vẽ đồ thị hàm số trên khi\(m =  - 1\).

Với \(m =  - 1\) ta có hàm số có dạng:\(y = x + 3\)

Chọn\(x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow \)\(A\left( {0;3} \right)\)thuộc đồ thị hàm số

Chọn\(y = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3 \Rightarrow B\left( { - 3;\;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.

Từ đó ta có đồ thị hàm số:

 

b)Tìm \(m\)để hai đường thẳng \(\left( d \right)y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\)và \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Phương trình của trục tung có dạng \(x = 0\). Thay \(x = 0\) vào hàm số \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) ta có \(y = 3\)

Suy ra \(A\left( {0;3} \right)\) là giao điểm của\(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) và trục tung.

Vì hai đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\)và \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên điểm \(A\left( {0;3} \right)\) thuộc đường thẳng  \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\)

\( \Rightarrow 3 = \left( {m + 2} \right).0 + 2{m^2} + 1 \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 1\).

Với \(m = 1 \Rightarrow y = 3x + 3 \Rightarrow \)\(\left( d \right)\) trùng với \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) (loại vì nếu hai đường thẳng trùng nhau thì không thể cắt nhau tại 1 điểm)

Với \(m =  - 1 \Rightarrow y = x + 3\) (thỏa mãn)

Vậy\(m =  - 1\) là giá trị cần tìm.

Câu 3:

            Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn \(\left( O \right)\)(C khác Avà B) sao cho\(AC > BC\). Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung AC tại H. Tiếp tuyến tại A của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt OH tại D. Đoạn thẳng DB cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại E.

 

a)Chứng minh \(HA = HC,\angle DCO = {90^o}\)

Xét tam giác AOC có: \(AO = CO\)(do cùng là bán kính), suy ra tam giác AOC cân tại O

Mà có OH là đường cao ứng với đỉnh O nên OH đồng thời cũng là trung trực của AC

Suy ra \(HA = HC\). (đpcm)

Xét tam giác AOC cân tại O có OH là đường cao, suy ra OH đồng thời là đường phân giác

\( \Rightarrow \angle AOH = \angle COH\).

Xét tam giác DOC và tam giác DOA có:

+) Chung cạnh OD

+) \(AO = CO\)(do cùng là bán kính)

+) \(\angle AOH = \angle COH\)

\( \Rightarrow \Delta DOC = \Delta DOA \Rightarrow \angle DCO = \angle DAO = {90^o}\)(do AD là tiếp tuyến nên \(\angle DAO = {90^o}\))\(\)\(\)

b)Chứng minh rằng \(DH.DO = DE.DB\)

Xét tam giác vuông ADO vuông tại A có AHlà đường cao

\( \Rightarrow A{D^2} = DH.DO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)             (1)

Xét tam giác vuông DABvuông tại A có AElà đường cao ( AE vuông góc với BD do \(\angle AEB\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow A{D^2} = DE.DB\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)              (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(DH.DO = DE.DB\;\;\left( { = A{D^2}} \right)\) (đpcm) \(\)\(\)

c) Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho Elà trung điểm cạnh AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại K. Đoạn thẳng FKcắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh\(MK = MF\).

Kéo dài BM cắt AD tại GGF cắt AB tại L

Xét tam giác ABG có:

\(\begin{array}{l}DO//BG\;\left( { \bot AC} \right)\\OA = OB\;\left( { = R} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow AD = DG\)  (tính chất đường trung bình)

Xét tam giác GFA có:

+) D là trung điểm củaAG (do\(AD = DG\))

+)E là trung điểm của AF (giả thiết)

\( \Rightarrow \)DE song song với GF(tính chất đường trung bình)

Xét tam giác GAL có:

+) D là trung điểm AG (do \(AD = DG\))

+) DB song song với GL (do DE song song với GF)

Suy ra B là trung điểm của AL (tính chất đường trung bình), suy ra\(AB = \dfrac{1}{2}AL\)\(\)

Xét tam giác GKM có KM song song với AB (do cùng vuông góc với AG)

\( \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{AB}} = \dfrac{{KG}}{{AG}}\) (định lí Ta-lét)                   (3)

Xét tam giác GAL có KF song song với AL (do cùng vuông góc với AG)

\( \Rightarrow \dfrac{{KF}}{{AL}} = \dfrac{{GK}}{{AG}}\) (định lí Ta-lét)                                (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{AB}} = \dfrac{{KF}}{{AL}}\). Mà có \(AB = \dfrac{1}{2}AL\) (cmt)

\( \Rightarrow KM = \dfrac{1}{2}KF \Rightarrow MF = KF - KM = KF - \dfrac{1}{2}KF = \dfrac{1}{2}KF \Rightarrow KF = KM\)(đpcm).

Câu 4:

Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \dfrac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\)

Ta có: \(S = \left( {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right) + \dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Co-si có:

\(\begin{array}{l} + )\;x + \dfrac{4}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{4}{{9x}}}  = 2.\sqrt {\dfrac{4}{9}}  = \dfrac{4}{3}\\ + )\;y + \dfrac{4}{{9y}} \ge 2\sqrt {y.\dfrac{4}{{9y}}}  = 2\sqrt {\dfrac{4}{9}}  = \dfrac{4}{3}\end{array}\)

Chứng minh bất đẳng thức phụ:

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)(luôn đúng)

Áp dụng bất đẳng thức phụ trên có: \(\dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}}\)

Mà có \(x + y \le \dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{{11}}{{36}}.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}} \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{\dfrac{4}{3}}} = \dfrac{{11}}{{12}}\).

\( \Rightarrow S = \left( {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right) + \dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{{11}}{{12}} = \dfrac{{43}}{{12}}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{{9x}}\\y = \dfrac{4}{{9y}}\\x + y = \dfrac{4}{3}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{2}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(\dfrac{{43}}{{12}}\) khi\(x = y = \dfrac{2}{3}\).

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com

 Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

Đề số 10 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9 Đề số 10 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 10 - Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) - Toán 9

Xem chi tiết
Đề số 11 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9 Đề số 11 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 11 - Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) - Toán 9

Xem chi tiết
Đề số 12 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9 Đề số 12 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 12 - Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) - Toán 9

Xem chi tiết
Đề số 13 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9 Đề số 13 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 13 - Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) - Toán 9

Xem chi tiết
Bài 2 trang 7 SGK Toán 9 tập 2 Bài 2 trang 7 SGK Toán 9 tập 2

Giải bài 2 trang 7 SGK Toán 9 tập 2. Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:

Xem chi tiết
Bài 26 trang 115 SGK Toán 9 tập 1 Bài 26 trang 115 SGK Toán 9 tập 1

Giải bài 26 trang 115 SGK Toán 9 tập 1. Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn.

Xem chi tiết
Bài 1 trang 7 SGK Toán 9 tập 2 Bài 1 trang 7 SGK Toán 9 tập 2

Giải bài 1 trang 7 SGK Toán 9 tập 2. Trong các cặp số (-2; 1), (0;2), (-1; 0), (1,5; 3) và (4; -3), cặp số nào là nghiệm của phương trình:

Xem chi tiết
Bài 41 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 Bài 41 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Giải bài 41 trang 128 SGK Toán 9 tập 1. Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.

Xem chi tiết

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng