Đề số 20 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 20 - Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) - Toán 9

Đề bài

Câu 1 (2,5 điểm): Cho hai biểu thức: \(A\, = \,\dfrac{{2\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  - 1}}\) và \(B\, = \,\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

1. Tính giá trị của A khi \(x = 4.\)

2. Rút gọn B.

3. So sánh A.B với 5.  

Câu 2 (2,0 điểm):

1. Thực hiện phép tính: \(\left( {3\sqrt 8  - \sqrt {18}  + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}}  + \sqrt {50} } \right).3\sqrt 2 .\)

2. Giải phương trình: \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 1}  - 5 = 2.\)

Câu 3 (1,5 điểm): Cho hàm số \(y = 3x + 2\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right).\)

1. Điểm \(A\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\) có thuộc đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) không? Vì sao?

2. Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) có phương trình \(y =  - 2x - m\) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

Câu 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB và điểm C bất kỳ thuốc đường tròn (C khác AB). Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BCD. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt ADE.

1. Chứng minh bốn điểm A,E,C,O cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh \(BC.BD = 4{R^2}\) và OE song song với BD.

3. Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BC tại N cắt tia ECF. Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)

4. Gọi H là hình chiếu của C trên AB, M là giao của AC OE. Chứng minh rằng khi điểm C di động trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và thỏa mãn yêu cầu đề bài thì đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5 (0,5 điểm):

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2010\) với \(x > 2.\)

Lời giải chi tiết

Câu 1: Cho hai biểu thức: \(A\, = \,\dfrac{{2\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  - 1}}\) và \(B\, = \,\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

1. Tính giá trị của khi \(x = 4.\)

Khi \(x = 4\) thì \(A\, = \,\dfrac{{2\sqrt 4  - 4}}{{\sqrt 4  - 1}} = \dfrac{{2.2 - 4}}{{2 - 1}} = \dfrac{0}{1} = 0\)

2. Rút gọn B.

\(\begin{array}{l}B\, = \,\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \dfrac{{3\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \dfrac{{6\sqrt x  - 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x  + 3\sqrt x  - 3 - 6\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

3. So sánh A.B với 5. 

\(\begin{array}{l}A.B - 5 = \dfrac{{2\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  - 1}}.\dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - 5 = \dfrac{{2\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  + 1}} - 5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt x  - 4 - 5\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 1}} = \dfrac{{ - 3\sqrt x  - 9}}{{\sqrt x  + 1}}\end{array}\)

Có \(\sqrt x  \ge 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow  - 3\sqrt x  \le 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow  - 3\sqrt x  - 9 < 0\;\forall x \ge 0\)  

Mặt khác  \(\sqrt x  \ge 0\;\forall x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 1 > 0\;\forall x \ge 0.\)

\( \Rightarrow A.B - 5 = \dfrac{{ - 3\sqrt x  - 9}}{{\sqrt x  + 1}} < 0\;\;\forall x \ge 0 \Rightarrow \,A.B < 5\)

Câu 2:

1. Thực hiện phép tính: \(\left( {3\sqrt 8  - \sqrt {18}  + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}}  + \sqrt {50} } \right).3\sqrt 2 .\)

\(\begin{array}{l}\left( {3\sqrt 8  - \sqrt {18}  + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}}  + \sqrt {50} } \right).3\sqrt 2\\  = \left( {3.2\sqrt 2  - 3\sqrt 2  + \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2} + 5\sqrt 2 } \right).3\sqrt 2 \\= \dfrac{{21\sqrt 2 }}{2}.3\sqrt 2\\  = 21.3 = 63.\end{array}\)

2. Giải phương trình: \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 1}  - 5 = 2.\)

Điều kiện: \(4{x^2} - 4x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0\) luôn đúng với mọi \(x\)

 \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 1}  - 5 = 2 \)

\(\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}  = 7 \)

\(\Leftrightarrow \left| {2x - 1} \right| = 7 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 7\\2x - 1 =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 3;\;4} \right\}.\)  

Câu 3: Cho hàm số \(y = 3x + 2\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right).\)

1. Điểm \(A\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\) có thuộc đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) không? Vì sao?

 Thay tọa độ điểm A vào công thức hàm số ta có: \(3.\dfrac{1}{3} + 2 = 1 + 2 = 3\) .

Vậy \(A\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 3x + 2\)

2. Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) có phương trình \(y =  - 2x - m\) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)  \(\left( {{d_2}} \right)\) là: \(3x + 2 =  - 2x - m \Leftrightarrow m =  - 5x - 2\)  \(\left( 1 \right)\)

Vì \(\left( {{d_1}} \right)\) cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 nên \(x = 1\) là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\)

\(\; \Rightarrow m =  - 5.1 - 2 =  - 7\)

Vậy với \(m =  - 7\)  thỏa mãn yêu cầu để bài.

Câu 4: Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB và điểm C bất kỳ thuốc đường tròn (C khác A và B). Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BC ở D. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD ở E.

1. Chứng minh bốn điểm A, E, C, O cùng thuộc một đường tròn.

AE là tiếp tuyến tại A của \(\left( {O;R} \right) \Rightarrow \angle EAO = {90^o}\)

CE là tiếp tuyến tại C của \(\left( {O;R} \right) \Rightarrow \angle ECO = {90^o}\)

\( \Rightarrow \) C, A cùng thuộc đường tròn đường kính OE

\( \Rightarrow \) A, E, C, O cùng thuộc đường tròn đường kính OE

2. Chứng minh \(BC.BD = 4{R^2}\) và OE song song với BD.

Ta có điểm C thuộc \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\)

\( \Rightarrow \)\(\angle ACB = {90^o} \Rightarrow AC \bot BD\)

\( \Rightarrow \) AC là đường cao trong \(\Delta ABD\)

 Xét \(\Delta ABD\) vuông tại A đường cao AC ta có:

\(BC.BD = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\)

Ta có AE là tiếp tuyến tại A của \(\left( {O;R} \right)\)

         CE là tiếp tuyến tại C của \(\left( {O;R} \right)\)

         \(AE \cap CE = \left\{ E \right\}\)

\( \Rightarrow \) \(OE \bot AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(BD \bot AC\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow \) \(OE\parallel BD\) (từ vuông góc đến song song)

3. Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BC tại N cắt tia EC ở F. Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)

Ta có \(OF \bot BC\) tại N (gt) \( \Rightarrow \)\(\angle BOF = \angle COF = \dfrac{1}{2}\angle BOC\) (đường cao đồng thời là đường trung tuyến trong tam giác cân)

Mặt khác \(\angle BCF = \dfrac{1}{2}\angle BOC\) (CF là tiếp của \(\left( O \right)\) tại C)

\( \Rightarrow \angle BOF = \angle BCF\left( { = \dfrac{1}{2}\angle BOC} \right)\) \( \Rightarrow \) BOCF là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \angle OBF + \angle OCF = {180^o} \Leftrightarrow \angle OBF + {90^o} = {180^o}\)  (\(\angle OCF = {90^o}\) do CF là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại C)

\( \Rightarrow \angle OBF = {90^o} \Rightarrow BF\)  là tiếp tuyến của \(\left( {O;R} \right)\)

4. Gọi  H  là hình chiếu của C trên ABM  là giao của AC và OE. Chứng minh rằng khi điểm C di động trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và thỏa mãn yêu cầu đề bài thì đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua một điểm cố định.

Ta có \(OE\parallel CA\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow \angle OMC = {90^o}\)

Mặt khác \(\angle MCN = \angle ONC = {90^o}\) \( \Rightarrow \,OMCN\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \) \(\angle OMN = \angle OCN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(ON\))

Ta có \(\angle OHC = \angle ONC = {90^o}\) \( \Rightarrow \) OHCN là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \) \(\angle OHN = \angle OCN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(ON\))

\( \Rightarrow \angle OMN = \angle OHN\left( { = \angle OCN} \right)\)

\( \Rightarrow \) HMNO là tứ giác nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \) Đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua O là điểm cố định. (đpcm)

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2010\) với \(x > 2.\)

\(P = x + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2010 = x - 2 + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2012\)

Với \(x > 2 \Leftrightarrow x - 2 > 0 \Rightarrow \dfrac{9}{{x - 2}} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(x - 2\) và \(\dfrac{9}{{x - 2}}\)

\(\begin{array}{l}x - 2 + \dfrac{9}{{x - 2}} \ge 2.\sqrt {\left( {x - 2} \right).\dfrac{9}{{x - 2}}}  = 2\sqrt 9  = 6\\ \Rightarrow \,P = x - 2 + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2012 \ge 6 + 2012 = 2018\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x - 2 = \dfrac{9}{{x - 2}} \)

\(\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 9\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 3\\x - 2 =  - 3\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - 1\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow x = 5\) (do \(x > 2\))

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2018 tại \(x = 5\).

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com

 Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

Đề số 19 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9 Đề số 19 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 19 - Đề kiểm tra học kì 1 (Đề kiểm tra học kì 1) - Toán 9

Xem chi tiết
Đề số 18 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9 Đề số 18 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 18 - Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) - Toán 9

Xem chi tiết
Đề số 17 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9 Đề số 17 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 17 - Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) - Toán 9

Xem chi tiết
Đề số 16 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9 Đề số 16 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 16 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Xem chi tiết
Bài 2 trang 7 SGK Toán 9 tập 2 Bài 2 trang 7 SGK Toán 9 tập 2

Giải bài 2 trang 7 SGK Toán 9 tập 2. Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:

Xem chi tiết
Lý thuyết Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0). Lý thuyết Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0).

Gọi A là giao điểm của đường thẳng

Xem chi tiết
Bài 5 trang 11 SGK Toán 9 tập 2 Bài 5 trang 11 SGK Toán 9 tập 2

Giải bài 5 trang 11 SGK Toán 9 tập 2. Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

Xem chi tiết
Bài 4 trang 11 SGK Toán 9 tập 2 Bài 4 trang 11 SGK Toán 9 tập 2

Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 tập 2. Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:

Xem chi tiết

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng