Đề số 10 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Bình chọn:
3 trên 6 phiếu

Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 10 - Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) - Toán 9

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm): Hãy tính giá trị của:

a) \(M = \left( {2\sqrt {300}  + 3\sqrt {48}  - 4\sqrt {75} } \right):\sqrt 3 \) ;

b) \(N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \) ;

c) \(P = \dfrac{2}{{\sqrt 3  + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt 3  - 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3  + 3}}\) ;

Câu 2 (2,0 điểm): Cho các biểu thức:

\(A = 1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}\)  và  \(B = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 5\sqrt x  + 6}}\)  với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\)

a) Hãy tính giá trị của A khi \(x = 16\).

b) Rút gọn B.

c) Xét biểu thức \(T = \dfrac{A}{B}\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.

Câu 3 (2,0 điểm): Cho hàm số \(y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1\) (với m là tham số và \(m \ne 2\)) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right).\)

a) Khi \(m = 0\), hãy vẽ \(\left( d \right)\) trên hệ trục tọa độ \(Oxy\).

b) Tìm m để \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2x - 5\) tại điểm có hoành độ bằng 2.

c) Tìm m để \(\left( d \right)\) cùng với các trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Câu 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm A nằm ngoài \(\left( O \right)\). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với \(\left( O \right)\) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OABC.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC.

c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với \(\left( O \right)\) (E không trùng với D). Chứng minh \(\dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}\).

d) Tính số đo góc HEC.

Câu 5 (0,5 điểm): Cho \(x > 0,\,\,y > 0\) thỏa mãn \(xy = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}\) .

Lời giải chi tiết

Câu 1: Hãy tính giá trị của:

a) \(M = \left( {2\sqrt {300}  + 3\sqrt {48}  - 4\sqrt {75} } \right):\sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l}M = \left( {2\sqrt {300}  + 3\sqrt {48}  - 4\sqrt {75} } \right):\sqrt 3  = \left( {2.10\sqrt 3  + 3.4\sqrt 3  - 4.5\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {20\sqrt 3  + 12\sqrt 3  - 20\sqrt 3 } \right):\sqrt 3  = 12\sqrt 3 :\sqrt 3  = 12\end{array}\)

b) \(N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \) ;

\(\begin{array}{l}N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  \\\;\;\;= \left| {\sqrt 3  - 2} \right| + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  = 2 - \sqrt 3  + \left| {\sqrt 3  - 1} \right|\\\,\,\,\,\,\, = 2 - \sqrt 3  + \sqrt 3  - 1 = 1\end{array}\)

c) \(P = \dfrac{2}{{\sqrt 3  + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt 3  - 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3  + 3}}\) ;

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{2}{{\sqrt 3  + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt 3  - 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3  + 3}}\\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} - \dfrac{{1\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}} + \dfrac{{12\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}\\= \dfrac{{2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{2} - \dfrac{{\sqrt 3  + 2}}{{ - 1}} + \dfrac{{12\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}{6}\\ = \sqrt 3  - 1 + \sqrt 3  + 2 + 2\left( {3 - \sqrt 3 } \right) = 7\end{array}\)

Câu 2: Cho các biểu thức:

\(A = 1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}\)  và  \(B = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 5\sqrt x  + 6}}\)  với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\)

a) Hãy tính giá trị của A khi \(x = 16\).

Tại \(x = 16\)thì \(A = 1 - \dfrac{{\sqrt {16} }}{{1 + \sqrt {16} }} = 1 - \dfrac{4}{{1 + 4}} = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}\)

b) Rút gọn B.

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 5\sqrt x  + 6}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 3}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) - \left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) + \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 9 - x + 4 + \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt x  - 2}}\end{array}\)

c) Xét biểu thức \(T = \dfrac{A}{B}\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.

\(A = 1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \dfrac{{1 + \sqrt x  - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt x }}\)

\(T = \dfrac{A}{B} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt x }}:\dfrac{1}{{\sqrt x  - 2}} = \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{1 + \sqrt x }} = \dfrac{{\sqrt x  + 1 - 3}}{{1 + \sqrt x }} = 1 - \dfrac{3}{{1 + \sqrt x }}\)

Do \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \dfrac{3}{{1 + \sqrt x }} \le \dfrac{3}{1} = 3 \Rightarrow T = 1 - \dfrac{3}{{1 + \sqrt x }} \ge 1 - 3 =  - 2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x = 0\)

Vậy \(Min\;T =  - 2\) khi \(x = 0.\)

Câu 3: Cho hàm số \(y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1\) (với m là tham số và \(m \ne 2\)) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right).\)

 

a) Khi \(m = 0\), hãy vẽ \(\left( d \right)\) trên hệ trục tọa độ \(Oxy\).

Khi\(m = 0\) thì \(\left( d \right):\;\;y = 2x + 1\)

Đồ thị của đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua 2 điểm \(\left( {0;1} \right),\,\,\,\left( {1;3} \right).\)

b) Tìm m để \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2x - 5\) tại điểm có hoành độ bằng 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và đường thẳng \(y = 2x - 5\) là

\(\left( {2 - m} \right)x + m + 1 = 2x - 5 \Leftrightarrow mx = m + 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Để \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2x - 5\) tại điểm có hoành độ bằng 2 thì \(x = 2\)  là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) hay \(2m = m + 6 \Leftrightarrow m = 6.\)

Vậy với \(m = 6\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) Tìm m để \(\left( d \right)\) cùng với các trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Gọi A và B là giao điểm của \(\left( d \right)\) lần lượt với hai trục tọa độ Ox, Oy.

Tọa độ điểm A thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} \)

\(\Rightarrow A\left( {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right|\)

Tọa độ điểm B thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow y = m + 1\)

\(\Rightarrow B\left( {0;m + 1} \right) \Rightarrow OB = \left| {m + 1} \right|\)

\({S_{\Delta OAB}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{OA.OB}}{2} = 2\)

\(\Leftrightarrow \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right|.\left| {m + 1} \right| = 4\)

\(\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left| {m - 2} \right|\)

Trường hợp 1: \(m > 2 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left( {m - 2} \right) \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 9 = 0\) vô nghiệm.

Trường hợp 2: \(m < 2 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} =  - 4\left( {m - 2} \right) \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\m =  - 7\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy với \(m = 1\) hoặc \(m =  - 7\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 4: Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm A nằm ngoài \(\left( O \right)\). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với \(\left( O \right)\) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow \angle OBA = \angle OCA = {90^o}\)

\( \Rightarrow \)B, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

\( \Rightarrow \) A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính OA. (đpcm)

b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại A

\( \Rightarrow \)\(AB = AC\) và AO là phân giác \(\angle BAC\)  (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác cân tại A

\( \Rightarrow \)AO vừa là phân giác \(\angle BAC\)  vừa là đường trung trực của BC (tính chất tam giác cân)

c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi là giao điểm của đoạn thẳng AD với \(\left( O \right)\) (E không trùng với D). Chứng minh \(\dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}\).

Ta có D đối xứng với B qua O\( \Rightarrow \)BD là đường kính của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\angle BED = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta ABD\) có: \(\angle BED = \angle ABD = {90^o}\), \(\angle D\) chung

d) Tính số đo góc HEC.

\(\angle BCD = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\angle AHB = {90^o}\) (AO là trung trực của BC)

Xét \(\Delta BCD\) và \(\Delta AHB\) có: \(\angle BCD = \angle AHB = {90^o},\;\angle BDC = \angle ABH\)(BA là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại B)

   kết hợp c) \( \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{CD}}{{BH}}\)

Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta DCE\) có     (2 góc t.ư)

\( \Rightarrow \angle BEH + \angle HED = \angle DEC + \angle HED \Rightarrow \angle BED = \angle HEC\)

Mà \(\angle BED = {90^o}\) (chứng minh trên)

Vậy \(\angle HEC = {90^o}\)

Câu 5:

Cho \(x > 0,\,\,y > 0\) thỏa mãn \(xy = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}\) .

\(Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}} = \dfrac{{2y + 3x}}{{xy}} + \dfrac{6}{{3x + 2y}} = \dfrac{{3x + 2y}}{6} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}\)

Đặt \(t = 3x + 2y \Rightarrow t \ge 2\sqrt {3x.2y}  \Leftrightarrow t \ge 2\sqrt {6.6}  = 12\)

Theo bất đẳng thức AM-GM và vì \(t \ge 12\) nên ta có:

\(Q = \dfrac{t}{6} + \dfrac{6}{t} = \left( {\dfrac{t}{6} + \dfrac{{24}}{t}} \right) - \dfrac{{18}}{t} \ge 2\sqrt {\dfrac{t}{6}.\dfrac{{24}}{t}}  - \dfrac{{18}}{{12}} = \dfrac{5}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}3x = 2y\\xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2y}}{3}\\\dfrac{{2{y^2}}}{3} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2y}}{3}\\{y^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\;\;\left( {do\;\;y > 0} \right)\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là \(\dfrac{5}{2}\) đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\).

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng