Bài tập 31 trang 137 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1


Giải bài tập Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.

Đề bài

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh rằng I là trung điểm GK.

c) Góc C bằng bao nhiêu độ để tứ giác AHCE trở thành hình vuông.

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác AHCE có:

Hai đường chéo AC và HE cắt nhau tại I (gt);

I là trung điểm của AC (gt);

I là trung điểm của HE (E đối xứng với H qua I)

Do đó tứ giác AHCE là hình bình hành.

Mà \(\widehat {AHC} = {90^0}\) (AH là đường cao của tam giác ABC).

Vậy tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) Tam giác AHC có hai đường trung tuyến AM và HI cắt nhau tại G.

\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của tam giác AHC \( \Rightarrow GI = {1 \over 3}HI\)

Tam giác AEC có hai đường trung tuyến AN và EI cắt nhau tại K.

\( \Rightarrow K\) là trọng tâm của tam giác AEC \( \Rightarrow IK = {1 \over 3}IE\)

Mà \(IE = HI\) (E đối xứng với H qua I)

\( \Rightarrow IK = GI \Rightarrow I\) là trung điểm của GK \(\left( {I \in GK} \right)\)

c) Nếu AHCE là hình vuông thì ta có :

CA là tia phân giác của góc vuông HCE.

\(\widehat {AHC} = {{{{90}^0}} \over 2} = {45^0}\)

Vậy \(\widehat C = {45^0}\) thì tứ giác AHCE trở thành hình vuông.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 8 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.