Bài 8 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11


Giải bài 8 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11. Tìm cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó bằng 27 và tổng các bình phương của chúng bằng 275.

Đề bài

Tìm cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó bằng \(27\) và tổng các bình phương của chúng bằng \(275\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức SHTQ của CSC: \(u_n=u_1+(n-1)d\).

Lời giải chi tiết

Xét cấp số cộng \(u_1, u_2, u_3,...\) có công sai \(d > 0\)

Theo giả thiết ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27 \hfill \cr
{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2 = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} + ({u_1} + d) + ({u_1} + 2d) = 27 \hfill \cr
{u_1}^2 + {({u_1} + d)^2} + {({u_1} + 2d)^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{u_1} + 3d = 27 \hfill \cr
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} = 9 - d\,\,\,(1) \hfill \cr
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275\,\,\,(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Thay  \(u_1\) ở (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,3{\left( {9 - d} \right)^2} + 6d\left( {9 - d} \right) + 5{d^2} = 275\\
\Leftrightarrow 243 - 54d + 3{d^2} + 54d - 6{d^2} + 5{d^2} = 275\\
\Leftrightarrow 2{d^2} = 32 \Leftrightarrow d = \pm 4
\end{array}\)

Vì \(d > 0\) nên ta chỉ chọn \(d = 4, u_1= 5\)

Vậy cấp số cộng phải tìm là \(5, 9, 13, 17, ...\)

Cách khác:

Gọi ba số hạng đầu của CSC lần lượt là: \(x - d;x;x + d\) với \(d > 0\).

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x - d + x + x + d = 27\\{\left( {x - d} \right)^2} + {x^2} + {\left( {x + d} \right)^2} = 275\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 27\\{x^2} - 2dx + {d^2} + {x^2} + 2dx + {d^2} = 275\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\3{x^2} + 2{d^2} = 275\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\{d^2} = 16\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\d = 4\left( {d > 0} \right)\end{array} \right.\)

Số hạng đầu là \({u_1} = x - d = 9 - 4 = 5\).

Vậy CSC cần tìm có \({u_1} = 5,d = 4\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3 trên 7 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài