Bài 3 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình

Đề bài

Giải các phương trình

a) $2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x$

b) $3\cos x + 4\sin x = 5$

c) $\sin x + \cos x = 1 + \sin x. \cos x$

d) $\sqrt {1 - \cos x} = \sin x(x \in \left[ {\pi ,3\pi } \right])$

e) $(\cos{x \over 4} - 3\sin x)\sin x + (1 + \sin{x \over 4} - 3\cos x)\cos x$ $= 0$

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình lượng giác cơ bản.

b) Chia cả hai vế cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}}$ .

c) Đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình lượng giác cơ bản.

d) Bình phương hai vế, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

e) Phá ngoặc và nhóm các hạng tử phù hợp.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

$\eqalign{ & 2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}({\cos ^2}x - {\sin ^2}x) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}.cos2x = \cos 2x\cr& \Leftrightarrow \cos 2x(2\sin {x \over 2} - 1) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos 2x = 0 \hfill \cr \sin {x \over 2} = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr \left[ \matrix{ {x \over 2} = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr {x \over 2} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 4} + \frac{k\pi}{2} \hfill \cr x = {\pi \over 3} + k4\pi \hfill \cr x = {{5\pi } \over 3} + k4\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb Z) \cr}$

b) Ta có:

$\eqalign{ & 3cos{\rm{ }}x + 4sin{\rm{ }}x = 5 \cr & \Leftrightarrow {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = 1 \cr & \Leftrightarrow \cos x\cos \varphi + \sin x\sin \varphi = 1\cr&(\text { với }cos\varphi = {3 \over 5};\sin \varphi = {4 \over 5}) \cr & \Leftrightarrow \cos (x - \varphi ) = 1 \cr & \Leftrightarrow x - \varphi = k2\pi \,\,\,(k \in\mathbb Z) \cr & \Leftrightarrow x = \varphi + k2\pi \,\,\,(k \in\mathbb Z)\cr}$

$c) \,\,sin x + cosx = 1 + sinx. cosx$

$⇔ sin x – sin x. cosx + cosx – 1= 0$

$⇔ sin x ( 1 – cosx) – (1 – cosx) = 0$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow (1 - \cos x)(\sin x - 1) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\mathop{\rm cosx}\nolimits} = 1 \hfill \cr sinx = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k2\pi \hfill \cr x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \cr}$

d) Điều kiện $\sin x ≥ 0$ . Khi đó:

$\eqalign{ & \sqrt {1 - \cos x} = \sin x \cr & \Leftrightarrow 1-\cos x = {\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - \cos x = 0 \cr & \Leftrightarrow {\cos ^2}x - \cos x = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos x(cosx - 1) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 0 \hfill \cr \cos x = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr x = k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \cr}$

$\begin{array}{l} \pi \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 3\pi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le \frac{5}{2} \\ \mathop \Rightarrow \limits^{k \in Z} \left[ \begin{array}{l} k = 1 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{2}\,\,\left( {ktm\,\,\sin x \ge 0} \right)\\ k = 2\,\,\left( {tm} \right) \end{array} \right.\\ \pi \le k2\pi \le 3\pi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{k \in Z} k = 1 \Rightarrow x = 2\pi \,\,\left( {tm} \right) \end{array}$

Vì $\sin \frac{{5x}}{4} \le 1;\,\,\cos x \le 1 \Rightarrow \sin \frac{{5x}}{4} + \cos x \le 2 < 3 \Rightarrow$ phương trình trên vô nghiệm.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.2 trên 9 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 4 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 4 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11. Trong một bệnh viện có 40 bác sĩ ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ca mổ, nếu mỗi ca gồm:
Bài 5 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 5 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11. Tìm số hạng không chứa a trong khai triển nhị thức
Bài 6 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 6 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11. Chọn ngẫu nhiên ba học sinh từ một tổ gồm sáu nam và bốn nữ. Tính xác suất sao cho:
Bài 7 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 7 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11. Một tiểu đội có 10 người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh A và anh B. Tính xác suất sao cho:
Bài 8 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 8 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11. Tìm cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó bằng 27 và tổng các bình phương của chúng bằng 275.
Bài 9 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 9 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11. Hãy tính tổng của năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho.
Bài 10 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11
Tính các giới hạn sau
Bài 11 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 11 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11. Cho hai dãy số (un), (vn) với
Bài 12 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 12 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11. Chứng minh rằng hàm số y = cos x không có giới hạn khi x -> + ∞
Bài 13 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 13 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11. Tính các giới hạn sau
Bài 14 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 14 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm: sin x = x – 1
Bài 15 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 15 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11. Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng (-1, 3):
Bài 16 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 16 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11. Giải các phương trình
Bài 17 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 17 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11. Tính đạo hàm của các hàm số sau
Bài 18 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 18 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau
Bài 19 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 19 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11. Hãy xác định các số a, b, c, d, biết rằng đồ thị hàm số (C) của hàm số y = f(x) đi qua các điểm (-1, -3), (1, -1) và (f'({1 over 3}) = 0)
Bài 20 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 20 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = -1
Bài 2 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 2 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11. Tính đạo hàm của hàm đã cho.
Bài 1 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 1 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Chứng minh rằng: cos 2(x + k π) = cos 2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số y = cos2x.
Bài 18 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 18 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0, f(x0))
Bài 17 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 17 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Viết tất cả các công thức tính đạo hàm đã học
Bài 16 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 16 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x = x0
Bài 15 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 15 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng. Nêu hình ảnh hình học của một hàm số liên tục trên một khoảng.
Bài 14 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 14 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Nêu các giới hạn đặc biệt của dãy số và của hàm số.
Bài 13 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 13 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Định nghĩa hàm số có giới hạn + ∞ khi x -> - ∞
Bài 12 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 12 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Viết công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
Bài 11 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 11 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Dãy số (un) thỏa mãn điều kiện gì thì được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực.
Bài 10 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 10 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Phát biểu định nghĩa cấp số nhân và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.
Bài 9 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 9 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Phát biểu định nghĩa cấp số cộng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.
Bài 8 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 8 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Nêu rõ các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học và cho ví dụ.
Bài 7 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 7 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Phát biểu định nghĩa xác suất (cổ điển) của biến cố.
Bài 6 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 6 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Viết công thức nhị thức Niu-tơn.
Bài 5 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 5 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Viết công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử. Cho ví dụ.
Bài 4 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 4 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Viết công thức tính số hoán vị của tập gồm n phần tử (n > 1). Nêu ví dụ.
Bài 3 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 3 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Nêu cách giải các phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình dạng:
Bài 2 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 2 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11. Cho biết chu kì của mỗi hàm số y = sin x, y = cosx, y = tan x, y = cotx
Bài 1 trang 178 SGK Đại số và Giải tích lớp 11
Giải bài 1 trang 178 SGK Đại số và Giải tích lớp 11. Nêu định nghĩa các hàm số lượng giác. Chỉ rõ tập xác định và giá trị của từng hàm số đó.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.