Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học ÔN TẬP CUỐI NĂM - ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

Bài 3 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11


Giải các phương trình

Đề bài

Giải các phương trình

a) \(2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)

b) \(3\cos x + 4\sin x = 5\)

c) \(\sin x + \cos x = 1 + \sin x. \cos x\)

d) \(\sqrt {1 - \cos x}  = \sin x(x \in \left[ {\pi ,3\pi } \right])\)

e) \((\cos{x \over 4} - 3\sin x)\sin x + (1 + \sin{x \over 4} - 3\cos x)\cos x\)\( = 0\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình lượng giác cơ bản.

b) Chia cả hai vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

c) Đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình lượng giác cơ bản.

d) Bình phương hai vế, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

e) Phá ngoặc và nhóm các hạng tử phù hợp.

Lời giải chi tiết

a)

\(\eqalign{
& 2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}({\cos ^2}x - {\sin ^2}x) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}.cos2x = \cos 2x\cr& \Leftrightarrow \cos 2x(2\sin {x \over 2} - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0 \hfill \cr 
\sin {x \over 2} = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr 
\left[ \matrix{
{x \over 2} = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr 
{x \over 2} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + \frac{k\pi}{2} \hfill \cr 
x = {\pi \over 3} + k4\pi \hfill \cr 
x = {{5\pi } \over 3} + k4\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb Z) \cr} \)

 b) Ta có: 

\(\eqalign{
& 3cos{\rm{ }}x + 4sin{\rm{ }}x = 5 \cr 
& \Leftrightarrow {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = 1 \cr 
& \Leftrightarrow \cos x\cos \varphi + \sin x\sin \varphi = 1\cr&(\text { với }cos\varphi = {3 \over 5};\sin \varphi = {4 \over 5}) \cr 
& \Leftrightarrow \cos (x - \varphi ) = 1 \cr 
& \Leftrightarrow x - \varphi = k2\pi \,\,\,(k \in\mathbb Z) \cr 
& \Leftrightarrow x = \varphi + k2\pi \,\,\,(k \in\mathbb Z)\cr} \)

\(c) \,\,sin x + cosx = 1 + sinx. cosx\)

\(⇔ sin x – sin x. cosx + cosx – 1= 0\)

\(⇔ sin x ( 1 – cosx) – (1 – cosx) = 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow (1 - \cos x)(\sin x - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\mathop{\rm cosx}\nolimits} = 1 \hfill \cr 
sinx = 1 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k2\pi \hfill \cr 
x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \cr} \)

d) Điều kiện \(\sin x ≥ 0\). Khi đó:

\(\eqalign{
& \sqrt {1 - \cos x} = \sin x \cr 
& \Leftrightarrow 1-\cos x = {\sin ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - \cos x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\cos ^2}x - \cos x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \cos x(cosx - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = 0 \hfill \cr 
\cos x = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr 
x = k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \cr}\)

\(\begin{array}{l}
\pi \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 3\pi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le \frac{5}{2} \\ \mathop \Rightarrow \limits^{k \in Z} \left[ \begin{array}{l}
k = 1 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{2}\,\,\left( {ktm\,\,\sin x \ge 0} \right)\\
k = 2\,\,\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
\pi \le k2\pi \le 3\pi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{k \in Z} k = 1 \Rightarrow x = 2\pi \,\,\left( {tm} \right)
\end{array}\)

Vì \(\sin \frac{{5x}}{4} \le 1;\,\,\cos x \le 1 \Rightarrow \sin \frac{{5x}}{4} + \cos x \le 2 < 3 \Rightarrow \) phương trình trên vô nghiệm.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.2 trên 9 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store