Các dạng toán về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng


Các dạng toán về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Dưới đây là một số bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian:

Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

Muốn chứng minh đường thẳng $d \bot \left( \alpha  \right)$ ta có thể dùng một trong hai cách sau.

Cách 1. Chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng $a,b$ cắt nhau trong $\left( \alpha  \right)$.

Kí hiệu: $\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \subset \left( \alpha  \right),b \subset \left( \alpha  \right)\\a \cap b = I\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( \alpha  \right)$

Cách 2. Chứng minh $d$ song song với đường thẳng $a$ mà $a$ vuông góc với $\left( \alpha  \right)$.

Kí hiệu: $\left\{ \begin{array}{l}d\parallel a\\\left( \alpha  \right) \bot a\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( \alpha  \right)$

Cách 3. Chứng minh $d$ vuông góc với $\left( Q \right)$ và $\left( Q \right)//\left( P \right)$.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách dùng đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Phương pháp:

Để chứng minh $d \bot \;a$, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

Cách 1: Chứng minh $d$ vuông góc với $\left( P \right)$ và $\left( P \right)$ chứa $a$.

Cách 2: Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

Cách 3: Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

Ví dụ:

Cho tứ diện \(SABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)

a) Chứng minh: \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)

b) Gọi \(AH\) là đường cao của \(\Delta SAB\). Chứng minh: \(AH \bot SC\)

Giải

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABC} \right)\\BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot BC\)

Mà \(BC \bot AB\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\))

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) (đpcm)

b) Do \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAB} \right)\\AH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH\) (1)

Lại có \(AH \bot SB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\)

Mà \(SC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\) (đpcm).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.