Bài 4 trang 78 SGK Hình học 11


Giải bài 4 trang 78 SGK Hình học 11. Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD)...

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\). Qua \(A, B, C, D\) lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng \(Ax, By, Cz, Dt\) ở cùng phía đối với mặt phẳng \((ABCD)\), song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\). Một mặt phẳng \((β)\) lần lượt cắt \(Ax, By, Cz\) và \(Dt\) tại \(A', B', C'\) và \(D'\).

a) Chứng minh mặt phẳng \((Ax, By)\) song song với mặt phẳng \(( Cz, Dt)\)

b) Gọi \(I =  AC ∩ BD, J = A'C' ∩ B'D'\). Chứng minh \(IJ\) song song với \(AA'\)

c) Cho \(AA' = a, BB' = b, CC' = c\). Hãy tính \(DD'\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng định lý: Nếu mặt phẳng \((\alpha)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng \((\beta)\) thì hai mặt phẳng đó song song.

b) Dựa vào định lí: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau để chứng minh tứ giác \(A'B'C'D'\) là hình bình hành, từ đó suy ra \(J\) là trung điểm của \(A'C'\).

Dựa vào tính chất đường trung bình của hình thang suy ra IJ // AA'.

Lời giải chi tiết

a) \(Ax // Dt\) (giả thiết)\( \Rightarrow Ax//\left( {Cz,Dt} \right)\) (1)

\(AB // CD\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành).

Mà \(CD \subset \left( {Cz,Dt} \right) \) \(\Rightarrow AB//\left( {Cz,Dt} \right)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left( {Ax,AB} \right)//\left( {Cz,Dt} \right)\) hay \((Ax, By) // ( Cz, Dt)\)

b) Ta có  \((Ax, By) // ( Cz, Dt)\).

Mặt phẳng \((A'B'C'D')\) lần lượt cắt hai mặt phẳng \((Ax, By)\) và \(( Cz, Dt)\) theo giao tuyến \(A'B'\) và \(C'D'\) \(\Rightarrow A'B'//C'D'\).

Tương tự ta chứng minh được: \(A'D'//B'C'\)

Do đó \(A'B'C'D'\) là hình bình hành.

\(J=A'C'\cap B'D'\) nên \(J\) là trung điểm của \(A'C'\).

A'C'CA là hình thàng vì AA'//CC'. Mà I là trung điểm AC nên \(IJ\) là đường trung bình hình thang \(A'C'CA\).

Vậy \(IJ\)//\(AA'\).

c) Chứng minh tương tự ta có \(IJ\) là đường trung bình của hình thang \(BDD'B'\).

Theo tính chất của đường trung bình hình thang ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
IJ = \frac{1}{2}\left( {AA' + CC'} \right)\\
IJ = \frac{1}{2}\left( {BB' + DD'} \right)
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AA' + CC' = 2IJ\\
BB' + DD' = 2IJ
\end{array} \right.\)

Do đó : \(AA'+CC'=BB'+DD' \) \(\Rightarrow DD'=AA'+CC'-BB'\)

\(\Rightarrow DD' = a + c - b\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
2.9 trên 16 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài