Bài 13 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11


Tính các giới hạn sau

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các giới hạn sau

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} {{6 - 3x} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }}\)

Phương pháp giải:

Thay \(x=-2\)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} {{6 - 3x} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }} = {{6 - 3( - 2)} \over {\sqrt {2{{( - 2)}^2} + 1} }} = {{12} \over 3} = 4\)

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x - \sqrt {3x - 2} } \over {{x^2} - 4}}\)

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của \(x - \sqrt {3x - 2} \), sau đó đưa tử và mẫu về dạng tích để rút gọn nhân tử \(x-2\).

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x - \sqrt {3x - 2} } \over {{x^2} - 4}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{(x - \sqrt {3x - 2} )(x + \sqrt {3x - 2} )} \over {({x^2} - 4)(x + \sqrt {3x - 2} )}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^2} - 3x + 2} \over {({x^2} - 4)(x + \sqrt {3x - 2} )}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{(x - 2)(x - 1)} \over {(x - 2)(x + 2)(x + \sqrt {3x - 2)} }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x - 1} \over {(x + 2)(x + \sqrt {3x - 2} )}} \cr
& = {{2 - 1} \over {(2 + 2)(2 + \sqrt {3.2 - 2} )}} = {1 \over {16}} \cr} \)

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} - 3x + 1} \over {x - 2}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng đánh giá giới hạn \(\frac{L}{0}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} ({x^2} - 3x + 1) = 4 - 6 + 1 =  - 1\) 

+) \(\left\{ \matrix{
x - 2 > 0 \hfill \cr 
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 2) = 0 \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} - 3x + 1} \over {x - 2}} =  - \infty \)

LG d

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (x + {x^2} + ... + {x^n} - {n \over {1 - x}});n \in {N^*}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng cấp số nhân tính \(x + {x^2} + ...{x^n}\) thu gọn dãy cần tính giới hạn và tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(x + {x^2} + ... + {x^n} - \dfrac {n}{{1 - x}} \) \(= \dfrac {{x\left( {1 - {x^n}} \right)}}{{1 - x}} - \dfrac {n}{{1 - x}} \) \(= \dfrac {{x\left( {1 - {x^n}} \right) - n}}{{1 - x}}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + {x^2} + ... + {x^n} - \dfrac {n}{{1 - x}}} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac {{x\left( {1 - {x^n}} \right) - n}}{{1 - x}}\)

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {x\left( {1 - {x^n}} \right) - n} \right]\) \( = 1\left( {1 - 1} \right) - n =  - n < 0\)

Và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 - x} \right) = 0\\1 - x > 0\,khi\,x < 1\end{array} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x\left( {1 - {x^n}} \right) - n}}{{1 - x}} =  - \infty \)

LG e

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{2x - 1} \over {x + 3}}\)

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho x.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{2x - 1} \over {x + 3}} \) \(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x(2 - {1 \over x})} \over {x(1 + {3 \over x})}} \) \(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{2 - {1 \over x}} \over {1 + {3 \over x}}} = 2\)

LG f

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} - 1} } \over {2 - 3x}}\)

Phương pháp giải:

Chia cả từ và mẫu cho x, lưu ý căn bậc hai.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} - 1} } \over {2 - 3x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + |x|\sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} } \over {2 - 3x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - x\sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} } \over {2 - 3x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x(1 - \sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} )} \over {x({2 \over x} - 3)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 - \sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} } \over {{2 \over x} - 3}} \cr
& = {{1 - \sqrt 4 } \over { - 3}} = {1 \over 3} \cr} \)

LG g

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ( - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1)\)

Phương pháp giải:

Đặt \(x^3\) ra ngoài, đánh giá giới hạn của từng nhân tử và dấu của chúng.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1) \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}( - 2 + {1 \over x} - {3 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}) = + \infty \cr}\)

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3} =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - 2 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) =  - 2 < 0\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 10 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.