Bài 16 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11


Giải bài 16 trang 181 SGK Đại số và Giải tích 11. Giải các phương trình

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình

LG a

\(f’(x) = g(x)\) với \(f(x) = \sin^3 2x\) và \(g(x) = 4\cos2x – 5\sin4x\)

Phương pháp giải:

Tính \(f'(x)\), đưa phương trình về dạng tích và giải phương trình lượng giác cơ bản, sử dụng công thức nhân đôi: \(\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f(x) = \sin^3 2x\) 

\(⇒  f’(x) = 3\sin^2 2x (\sin2x)’ = 6\sin^2 2x \cos2x\)

Do đó:

\(\eqalign{
& f'(x) = g(x)\cr& \Leftrightarrow 6si{n^2}2x\cos 2x = 4\cos 2x - 5\sin 4x \cr 
& \Leftrightarrow 6si{n^2}2x\cos 2x = 4\cos 2x - 10\sin 2x\cos 2x \cr 
& \Leftrightarrow \cos 2x(3{\sin ^2}2x + 5\sin 2x - 2) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr 
3{\sin ^2}2x + 5\sin 2x - 2 = 0 \,\,\,\, (2)\hfill \cr} \right. \cr} \)

Giải (1): \(2x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb Z) \Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + {{k\pi } \over 2} (k \in \mathbb Z)\)

Giải (2): \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\\\sin 2x = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

\(\eqalign{
& \sin 2x = {1 \over 3} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = \arcsin ({1 \over 3}) + k2\pi \hfill \cr 
2x = \pi - \arcsin ({1 \over 3}) + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 3}) + {k\pi }  \hfill \cr 
x = {\pi \over 2} - {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 2}) + {k\pi }  \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z \cr} \)

Tóm lại, phương trình đã cho có ba nghiệm là:

\(\left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr 
x = {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 3}) + {k\pi }  \hfill \cr 
x = {\pi \over 2} - {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 2}) + {k\pi }  \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z\)

LG b

\(f’(x) = 0\) với \(f(x) = 20\cos 3x + 12\cos 5x – 15\cos 4x\).

Phương pháp giải:

Tính \(f'(x)\)

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\)

Đưa phương trình về dạng tích và giải phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 20.\left( {\cos 3x} \right)' + 12\left( {\cos 5x} \right)' - 15\left( {\cos 4x} \right)'\\
= 20.\left( { - 3\sin 3x} \right) + 12.\left( { - 5\sin 5x} \right) - 15.\left( { - 4\sin 4x} \right)\\
= - 60\sin 3x - 60\sin 5x + 60\sin 4x
\end{array}\)

Do đó:

\(\eqalign{
& f'(x) = 0 \Leftrightarrow  - 60\sin 3x - 60\sin 5x + 60\sin 4x = 0\cr &- \sin 3x - \sin 5x + \sin 4x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin 5x + \sin 3x - \sin 4x=0 \cr 
& \Leftrightarrow 2\sin 4x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} - sin4x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow sin4x(2cosx - 1) = 0 \cr} \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 4x = 0 \hfill \cr 
{\mathop{\rm cosx}\nolimits} = {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x = k\pi \hfill \cr 
x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 4} \hfill \cr 
x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \cr}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 9 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu