Bài 59 trang 92 SGK Toán 8 tập 2

Bình chọn:
4.1 trên 45 phiếu

Giải bài 59 trang 92 SGK Toán 8 tập 2. Hình thang ABCD (AB//CD) có AC và BD cắt nhau tại O, AD và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.

Đề bài

Hình thang ABCD (AB//CD) có AC và BD cắt nhau tại O, AD và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng hệ quả của định lí TaLet.

Lời giải chi tiết

Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, CD cắt AD, BC lần lượt tại E, F.

Ta có: OE // DC (gt)

\( \Rightarrow \frac{{OE}}{{DC}} = \frac{{AO}}{{AC}}\left( 1 \right)\) (hệ quả của định lí TaLet)

OF // DC (gt)

\( \Rightarrow \frac{{OF}}{{DC}} = \frac{{BO}}{{BD}}\left( 2 \right)\) (hệ quả của định lí TaLet)

AB // DC (gt)

\( \Rightarrow \frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}}\left( 3 \right)\) (hệ quả của định lí TaLet)

\( \Rightarrow \frac{{OA}}{{OC + OA}} = \frac{{OB}}{{OD + OB}} \Rightarrow \frac{{OA}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{B{\rm{D}}}}\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) ta có: 

\(\frac{{OE}}{{DC}} = \frac{{OF}}{{DC}} \Rightarrow OE = OF\)

Ta có: AB//EF (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có:

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{AN}}{{EO}} = \frac{{KN}}{{K{\rm{O}}}};\,\frac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} = \frac{{KM}}{{K{\rm{O}}}}\\
\Rightarrow \frac{{AN}}{{EO}} = \frac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} \Rightarrow AN = BN
\end{array}\)

=> N là trung điểm của AB.

Tương tự ta có: EF // DC (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có:

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{EO}}{{DM}} = \frac{{KO}}{{K{\rm{M}}}};\,\frac{{FO}}{{C{\rm{M}}}} = \frac{{KO}}{{K{\rm{M}}}}\\
\Rightarrow \frac{{EO}}{{DM}} = \frac{{FO}}{{C{\rm{M}}}} \Rightarrow DM = CM
\end{array}\)

=>M là trung điểm của CD.

Vậy OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 8 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Ôn tập chương III: Tam giác đồng dạng

>>Học trực tuyến các môn học lớp 8, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Lý, Hóa. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu