Bài 57 trang 92 SGK Toán 8 tập 2

Bình chọn:
4.5 trên 51 phiếu

Giải bài 57 trang 92 SGK Toán 8 tập 2. Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H, D, M.

Đề bài

Cho tam giác \(ABC (AB < AC)\). Vẽ đường cao \(AH\), đường phân giác \(AD\), đường trung tuyến \(AM\). Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm \(H, D, M\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.

Lời giải chi tiết

+ Nhận xét: \(D\) luôn nằm giữa \(H\) và \(M\).

+ Chứng minh:

\(AD\) là đường phân giác của \(∆ABC\).

\(\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)

Mà \(AB < AC\) (giả thiết)

\( \Rightarrow DB < DC\) \( \Rightarrow  DB + DC < DC + DC\)

\( \Rightarrow BD + DC < 2DC\) hay \(BC < 2DC\) 

\( \Rightarrow  DC >\dfrac{{BC}}{2}\)

Mà \(MC = \dfrac{{BC}}{2}\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))

\( \Rightarrow DC > MC\) \( \Rightarrow M \) nằm giữa \(D\) và \(C\) (1)

+ Mặt khác: \(\widehat {CAH} = {90^0} - \hat C\) (\(∆CAH\) vuông tại \(H\))

\(\hat A + \hat B + \hat C = {180^0}\) (tổng 3 góc ∆ABC)

\( \Rightarrow \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} - \widehat C\)

\( \Rightarrow \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B}}{2} - \dfrac{{\widehat C}}{2}\)\(\, = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B - \widehat C}}{2}\)

Vì \(AB < AC\) \( \Rightarrow \widehat C < \widehat B \Rightarrow \widehat B - \widehat C > 0\)

Do đó: \(\widehat {CAH} >  \dfrac{{\widehat A}}{2}\) hay \(\widehat {CAH} > \widehat {CAD}\)

\( \Rightarrow \) Tia \(AD\) nằm giữa hai tia \(AH\) và \(AC\)

Do đó \(D\) nằm giữa hai điểm \(H\) và \(C\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(D\) nằm giữa \(H\) và \(M.\)

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 8 - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com mọi lúc, mọi nơi đầy đủ các môn: Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sử, Địa cùng các thầy cô giáo dạy giỏi, nổi tiếng.