Bài 57 trang 92 SGK Toán 8 tập 2


Đề bài

Cho tam giác \(ABC (AB < AC)\). Vẽ đường cao \(AH\), đường phân giác \(AD\), đường trung tuyến \(AM\). Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm \(H, D, M\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.

Lời giải chi tiết

+ Nhận xét: \(D\) luôn nằm giữa \(H\) và \(M\).

+ Chứng minh:

\(AD\) là đường phân giác của \(∆ABC\).

\(\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)

Mà \(AB < AC\) (giả thiết)

\( \Rightarrow DB < DC\) \( \Rightarrow  DB + DC < DC + DC\)

\( \Rightarrow BD + DC < 2DC\) hay \(BC < 2DC\) 

\( \Rightarrow  DC >\dfrac{{BC}}{2}\)

Mà \(MC = \dfrac{{BC}}{2}\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))

\( \Rightarrow DC > MC\) \( \Rightarrow M \) nằm giữa \(D\) và \(C\) (1)

+ Mặt khác: \(\widehat {CAH} = {90^0} - \hat C\) (\(∆CAH\) vuông tại \(H\))

\(\hat A + \hat B + \hat C = {180^0}\) (tổng 3 góc ∆ABC)

\( \Rightarrow \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} - \widehat C\)

\( \Rightarrow \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B}}{2} - \dfrac{{\widehat C}}{2}\)\(\, = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B - \widehat C}}{2}\)

Vì \(AB < AC\) \( \Rightarrow \widehat C < \widehat B\) ( quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)

\(\Rightarrow \frac{\widehat B - \widehat C}{2} > 0\)

Do đó: \(\widehat {CAH} >  \dfrac{{\widehat A}}{2}\) hay \(\widehat {CAH} > \widehat {CAD}\)

\( \Rightarrow \) Tia \(AD\) nằm giữa hai tia \(AH\) và \(AC\)

Do đó \(D\) nằm giữa hai điểm \(H\) và \(C\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(D\) nằm giữa \(H\) và \(M.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 69 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 8 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.