Bài 31 trang 116 SGK Toán 9 tập 1

Bình chọn:
4.7 trên 25 phiếu

Giải bài 31 trang 116 SGK Toán 9 tập 1. Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O).

Đề bài

Trên hình \(82\), tam giác \(ABC\) ngoại tiếp đường tròn \((O)\).

a) Chứng minh rằng:

\(2AD=AB+AC-BC.\)

b) Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở câu a).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau: Nếu \(AB,\ AC\) là hai tiếp tuyến của \((O)\) lần lượt tại \(A,\ B\) thì ta có: \(AB=AC\)

+) Chu vi tam giác \(ABC\) là \(C_{\Delta{ABC}}=AB+AC+BC\)

Lời giải chi tiết

a) Tam giác \(ABC\) ngoại tiếp đường tròn tâm \(O\) nên \(AB,\ BC,\ AC\) lần lượt là tiếp tuyến tại \(D,\ E,\ F\) của đường tròn.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: 

\(AD=AF;\ DB=BE;\ FC=CE.\)

Xét vế phải:

\(VP=AB+AC-BC\)

\(=(AD+DB)+(AF+FC)-(BE+EC)\)

Thay \(DB=BE,\ FC=CE\) vào biểu thức trên, ta được:

\(VP=(AD+BE)+(AF+CE)-(BE+EC)\)

\(=AD+BE+AF+CE-BE-EC\)

\(=AD+AF+(BE-BE)+(CE-EC)\)

\(= AD+AF=2AD=VT.\) (Do \(AD=AF)\)

Vậy \(2AD=AB+AC-BC.\)

b) Các hệ thức tương tự là:

\(2BD=BA+BC-AC;\)

\(2CF=CA+CB-AB.\)

Nhận xét.

Đặt \(p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}\) là nửa chu vi của tam giác \(ABC\), \(AB=c;\ BC=a;\ CA=b\).

Ta có: \(2AD=AB+AC-BC\)

\(=(AB+AC+BC)-2BC\)

\(\Leftrightarrow AD=\dfrac{AB+AC+BC}{2}-\dfrac{2BC}{2}\)

\(\Leftrightarrow AD=p-BC\) hay \(AD=p-a\).

Tương tự ta có các kết quả sau:

\(AD=AF=p-a;\)

\(BD=BE=p-b;\)

\(CE=CF=p-c\)

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan