Lý thuyết Công thức nghiệm thu gọn

Đối với phương trình

1. Các kiến thức cần nhớ

Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ ${\rm{ }} (a \ne 0)$

và biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac.$

Trường hợp 1. Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}$

Trường hợp 3. Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1}} = \dfrac{{-b + \sqrt {\Delta } }}{2a}$, ${x_{2}} = \dfrac{{-b - \sqrt {\Delta } }}{2a}$

Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = {b^{'2}} - ac.$

Trường hợp 1. Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}$

Trường hợp 3. Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1}} = \dfrac{{-b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}$, ${x_{2}} = \dfrac{{-b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$

Chú ý

- Khi $a > 0$ và phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ vô nghiệm thì biểu thức $a{x^2} + bx + c > 0$ với mọi giá trị của $x$.

- Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có $a < 0$ thì nên đổi dấu hai vế của phương trình để có $a > 0$, khi đó dể giải hơn.

- Đối với phương trình bậc hai khuyết $a{x^2} + bx = 0$, $a{x^2} + c = 0$ nên dùng phép giải trực tiếp sẽ nhanh hơn.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng công thức nghiệm thu gọn

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = b{'^2} - ac.$

Trường hợp 1. Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}$

Trường hợp 3. Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1}} = \dfrac{{-b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}$, ${x_{2}} =\dfrac{{-b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$

Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ với $b = 2b'$

+) Phương trình có nghiệm kép $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.$

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.$

+) Phương trình vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0,b' = 0,c \ne 0\\a \ne 0,\Delta ' < 0\end{array} \right.$

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai (dùng một trong hai công thức: công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn)

Phương pháp:

* Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số $m$ là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của $m$.

Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ với $\Delta = {b^2} - 4ac$ ( hoặc $\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac$ )

Trường hợp 1. Nếu $\Delta < 0$ hoặc $\left( {\Delta ' < 0} \right)$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $\Delta = 0$ hoặc $\left( {\Delta ' = 0} \right)$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b'}}{a}$.

Trường hợp 3. Nếu $\Delta > 0$ hoặc $\left( {\Delta ' > 0} \right)$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_{1}} = \dfrac{{-b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}$, ${x_{2}} = \dfrac{{-b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$.