Lý thuyết Công thức nghiệm thu gọn

Đối với phương trình

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

1. Các kiến thức cần nhớ

Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ ${\rm{ }} (a \ne 0)$

và biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac.$

Trường hợp 1. Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}$

Trường hợp 3. Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1}} = \dfrac{{-b + \sqrt {\Delta } }}{2a}$, ${x_{2}} = \dfrac{{-b - \sqrt {\Delta } }}{2a}$

Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = {b^{'2}} - ac.$

Trường hợp 1. Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}$

Trường hợp 3. Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1}} = \dfrac{{-b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}$, ${x_{2}} = \dfrac{{-b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$

Chú ý

- Khi $a > 0$ và phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ vô nghiệm thì biểu thức $a{x^2} + bx + c > 0$ với mọi giá trị của $x$.

- Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có $a < 0$ thì nên đổi dấu hai vế của phương trình để có $a > 0$, khi đó dể giải hơn.

- Đối với phương trình bậc hai khuyết $a{x^2} + bx = 0$, $a{x^2} + c = 0$ nên dùng phép giải trực tiếp sẽ nhanh hơn.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng công thức nghiệm thu gọn

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = b{'^2} - ac.$

Trường hợp 1. Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}$

Trường hợp 3. Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1}} = \dfrac{{-b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}$, ${x_{2}} =\dfrac{{-b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$

Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ với $b = 2b'$

+) Phương trình có nghiệm kép $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.$

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.$

+) Phương trình vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0,b' = 0,c \ne 0\\a \ne 0,\Delta ' < 0\end{array} \right.$

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai (dùng một trong hai công thức: công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn)

Phương pháp:

* Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số $m$ là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của $m$.

Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ với $\Delta = {b^2} - 4ac$ ( hoặc $\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac$ )

Trường hợp 1. Nếu $\Delta < 0$ hoặc $\left( {\Delta ' < 0} \right)$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $\Delta = 0$ hoặc $\left( {\Delta ' = 0} \right)$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b'}}{a}$.

Trường hợp 3. Nếu $\Delta > 0$ hoặc $\left( {\Delta ' > 0} \right)$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_{1}} = \dfrac{{-b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}$, ${x_{2}} = \dfrac{{-b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$.