Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 5 - Chương 3 - Hình học 9

Bình chọn:
4 trên 4 phiếu

Giải Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 5 - Chương 3 - Hình học 9

Đề bài

Bài 1: Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R), lấy đoạn \(AI = R\sqrt 3 \).

a) Tính độ dài OI theo R.

b) Đường cao AH của ∆OAI cắt đường tròn (O) tại B. Chứng tỏ IB là tiếp tuyến của (O).

Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( B, C là hai tiếp điểm). Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại D ( D khác B). Đường thẳng AD cắt (O) tại E ( khác D).

a) Chứng minh: \(AB^2 = AE.AD\)

b) Chứng minh: \(BC.EC = AC.BE\)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC theo R.

Lời giải chi tiết

Bài 1:

 

a) ∆OAI vuông tại A ( tính chẩt tiếp tuyến)

Ta có: \(OI = \sqrt {O{A^2} + A{I^2}}  = \sqrt {{R^2} + {{\left( {R\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2R\).

b) Có \(OH \bot AB\) (gt) nên H là trung điểm của AB ( định lí đường kính dây cung)

∆AOB cân có đường cao OH đồng thời là đường trung tuyến nên \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

Xét ∆OBI và ∆OAI có :

+) OI cạnh chung,

+) \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (cmt),

+) \(OB = OA ( = R)\)

Vậy \(∆OBI = ∆OAI\) (c.g.c) \(\Rightarrow \widehat {OBI} = \widehat {OAI} = 90^\circ \)

Chứng tỏ OB là tiếp tuyến của (O).

Bài 2:

a) Ta có \(\widehat {ABE} = \widehat {BDE}\) ( góc giữa tiếp tuyến và một dây bằng góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

Do đó ∆ABE và ∆ADB đồng dạng (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD} }{ {AB}} = \dfrac{{AB} }{{AE}}\)

\( \Rightarrow A{B^2} = AE.AD\)

b) Nối CD.

Khi đó \(\widehat {DCx} = \widehat {CED}\) (góc giữa tiếp tuyến và một dây bằng góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

BD // AC \( \Rightarrow \widehat {DCx} = \widehat {BDC}\) ( so le trong)

Do đó \(\widehat {BDC} = \widehat {CED}\) mà \(\widehat {CED} + \widehat {CEA} = 180^\circ \) và \(\widehat {BDC} + \widehat {BEC} = 180^\circ \) ( tổng hai góc đối của tứ giác BECD nội tiếp) \( \Rightarrow \widehat {CEA} = \widehat {BEC}\).

Lại có \(\widehat {EBC} = \widehat {ECA}\) (góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn cung EC)

Do đó ∆BEC và ∆CEA đồng dạng (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{AC}} = \dfrac{{BE} }{ {EC}}\)

\(\Rightarrow BC.EC = AC.BE\).

c) Gọi BH là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song BD và AC.

Xét  tam giác vuông ACO, ta có :

\(AC = \sqrt {A{O^2} - C{O^2}}  = \sqrt {{{\left( {3R} \right)}^2} - {R^2}} \)\(\, = R\sqrt 8 \)

Gọi I là giao điểm của AO và BC ta có AO là đường trung trực của đoạn BC nên AO ^ BC tại I hay CI là đường cao của tam giác vuông ACO ta có : CI.AO = CA.CO ( hệ thức lượng)

\( \Rightarrow CI = \dfrac{{CA.CO} }{ {AO}} = \dfrac{{R\sqrt 8 .R} }{ {3R}} =\dfrac {{R\sqrt 8 } }{ 3} \)

\(\Rightarrow BC = {{2R\sqrt 8 } \over 3}\)

Xét tam giác vuông AIC ta có :

\(AI = \sqrt {A{C^2} - C{I^2}}  \)\(\,= \sqrt {{{\left( {R\sqrt 8 } \right)}^2} - {{\left( {{{R\sqrt 8 } \over 3}} \right)}^2}}  = {{8R} \over 3}\)

Hai tam giác vuông AIC và BHC có \(\widehat {ACI}\) chung nên :

∆AIC và ∆BHC đồng dạng (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{BH} }{ {AI}} =\dfrac {{BC}}{ {AC}}\)

\( \Rightarrow BH = \dfrac{{AI.BC} }{ {AC}} = \dfrac{{{{8R} \over 3}.{{2R\sqrt 8 } \over 3}}}{ {R\sqrt 8 }} \)\(\,= \dfrac{{{{16{R^2}\sqrt 8 } \over 9}} }{{R\sqrt 8 }} = \dfrac{{16R}}{ 9}\)

Lưu ý : Ta có thể tính khoảng cách CK ( K là giao điểm của CO với BD).

 Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com