
Đề bài
Các đường cao hạ từ \(A\) và \(B\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\) (góc \(C\) khác \(90^0\)) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Chứng minh rằng:
a) \(CD = CE\) ; b) \(ΔBHD\) cân ; c) \(CD = CH\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng: “Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau” và hai góc phụ nhau từ đó suy ra hai cung bằng nhau và hai dây bằng nhau.
b) Chứng minh tam giác BHD có BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên nó là tam giác cân
c) Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
Lời giải chi tiết
a) Gọi K là giao điểm của BC và AD
Gọi I là giao điểm của BE và AC
Cách 1:
Ta có: \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}B}\) (1) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))
\(\widehat {DBC} + \widehat {ADB} = {90^0}\) (2) (do tam giác BDK vuông tại K)
\(\widehat {AEB} + \widehat {CAE} = {90^0}\) (3) (do tam giác AIE vuông tại I)
Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{E}}}\) (cùng phụ với hai góc bằng nhau)
Có \(\widehat {CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD
\(\widehat {EAC}\) là góc nội tiếp chắn cung CE
⇒ \(sđ\overparen{CD}\)= \(sđ\overparen{CE}\)
Suy ra \(CD = CE\)
Cách 2:
Vì \(BC \bot AD\) nên \(\widehat{AKB}=90^0\)
Lại có \(\widehat{AKB}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CD nên
\(\widehat{AKC}=\dfrac{sđ\overparen {DC}+sđ \overparen {BA}}{2}=90^0\)
Suy ra \(sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CD}=180^0\) (1)
Vì \(BE \bot AC\) nên \(\widehat{AIB}=90^0\)
Lại có \(\widehat{AIB}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CE nên
\(\widehat{AIB}=\dfrac{sđ\overparen {CE}+sđ \overparen {AB}}{2}=90^0\)
Suy ra \(sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CE}=180^0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(sđ \overparen {CE}=sđ \overparen {CD}\)
Suy ra \( \overparen {CE}=\overparen {CD}\), do đó \(CE=CD.\)
b) Ta có \(\widehat {EBC}\) và \(\widehat {CB{\rm{D}}}\) là góc nội tiếp lần lượt chắn cung \(\overparen{CE}\) và \(\overparen{CD}\) trong đường tròn \(O\) và \(\overparen{CD}\)= \(\overparen{CE}\)
nên \(\widehat {EBC} = \widehat {CB{\rm{D}}}\) ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau)
\(\Rightarrow\) BK là phân giác của \(\widehat {HBD}\)
Lại có BK vuông góc với HD (giả thiết H là trực tâm của tam giác ABC). Suy ra BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác HBD nên \(∆BHD\) cân tại \(B\)
c) Vì \(∆BHD\) cân nên đường cao \(BK\) đồng thời là đường trung trực.
Điểm \(C\) nằm trên đường trung trực của \(HD\) nên \(CH = CD\)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M.
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC.
Giải bài 98 trang 105 SGK Toán 9 tập 2. Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.
Dựng ΔABC, biết BC = 6cm, góc BAC = 80o, đường cao AH có độ dài là 2cm.
Giải Đề tra kiểm 45 phút (1 tiết) - Đề số 1 - Chương 3 - Hình học 9
Giải Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 2 - Chương 3 - Hình học 9
Giải Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 3 - Chương 3 - Hình học 9
Giải Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 4 - Chương 3 - Hình học 9
Giải Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 5 - Chương 3 - Hình học 9
Giải Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 6 - Chương 3 - Hình học 9
Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú,...
Giải bài 93 trang 104 SGK Toán 9 tập 2. Có ba bánh xe răng cưa A, B, C cùng chuyển độn ăn khớp với nhau.
Giải bài 92 trang 104 SGK Toán 9 tập 2. Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài: cm).
Trong hình 68, đường tròn tâm O có bán kính R = 2cm, góc AOB = 75^0.
Giải bài 90 trang 104 SGK Toán 9 tập 2. a) Vẽ hình vuông cạnh 4cm.
Trong hình 67, cung AmB có số đo là 60^0. Hãy:
Giải bài 88 trang 103 SGK Toán 9 tập 2. Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây:
>> Xem thêm
Các bài khác cùng chuyên mục
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: