Bài 9 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Từ một điểm M tùy ý trên dây BC, kẻ các

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Từ một điểm M tùy ý trên dây BC, kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, chúng cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Gọi D là điểm đối xứng của M qua đường thẳng PQ. Chứng minh D nằm trên đường tròn (O).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Đặt \(\widehat {BAC} = \alpha \).

+) Chứng minh P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM và \(\widehat {BPM} = \widehat {BAC} = \alpha \).

+) Chứng minh được Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM và \(\widehat {MQC} = \alpha \)

+) Tính \(\widehat {BDM};\,\,\widehat {MDC}\) theo \(\alpha \), chứng minh \(\widehat {BDC} = \alpha \).

Lời giải chi tiết

 

Đặt \(\widehat {BAC} = \alpha \).

Ta có: PM // AC nên \(\widehat {BPM} = \widehat {BAC} = \alpha \) (hai góc đồng vị bằng nhau)

Áp dụng định lí Ta-let ta có : \(\dfrac{{PM}}{{AC}} = \dfrac{{BP}}{{AB}}\). Mà \(AB = AC \Rightarrow PM = PB\).

Vì D đối xứng M qua PQ nên PQ là trung trực của MD \( \Rightarrow PM = PD\).

\( \Rightarrow PM = PD = PB \Rightarrow P\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM.

\( \Rightarrow \widehat {BDM} = \dfrac{1}{2}\widehat {BPM}\) (góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung)

\( \Rightarrow \widehat {BDM} = \dfrac{1}{2}\alpha \).

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM và \(\widehat {MQC} = \alpha \)

\( \Rightarrow \widehat {MDC} = \dfrac{1}{2}\widehat {MQC} = \dfrac{1}{2}\alpha \) (góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung)

\( \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {BDM} + \widehat {MDC} \)\(\,= \dfrac{1}{2}\alpha  + \dfrac{1}{2}\alpha  = \alpha  = \widehat {BAC}\)

\(\Rightarrow \) Tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 góc cùng chắn 1 cung bằng nhau).

Vậy D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

 Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng