-
CHƯƠNG I : CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
-
CHƯƠNG II : HÀM SỐ BẬC NHẤT
-
CHƯƠNG III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
-
CHƯƠNG IV: HÀM SỐ BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
-
CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
-
Chủ đề 1 : Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- 1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
- 2. Hệ thức giữa ba cạnh của tam giác vuông
- 3. Hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền
- 4. Hệ thức diện tích
- 5. Hệ thức giữa đường cao và hai cạnh góc vuông
- Bài tập - Chủ đề 1 : Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- Luyện tập - Chủ đề 1 : Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
-
Chủ đề 2 : Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- 1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
- 2. Liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của một góc
- 3. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
- 4. Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt
- 5. Tìm tỉ số lượng giác bằng máy tính cầm tay
- Bài tập - Chủ đề 2 : Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Luyện tập – Chủ đề 2 : Tỉ số lượng giác của góc nhọn
-
Chủ đề 3: Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
-
Chủ đề 4 : Ứng dụng của tỉ số lượng giác
-
Ôn tập chương 1 - Hình học 9
-
-
CHƯƠNG II : ĐƯỜNG TRÒN
-
CHƯƠNG III: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Giải bài tập Tài liệu Dạy - học Toán lớp 9, Phát triển tư duy đột phá trong dạy học Toán 9
Bài tập - Chủ đề 3: Tứ giác nội tiếp
Bài 10 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định. CD là một đường kính di động của (O). Các
Đề bài
Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định. CD là một đường kính di động của (O). Các đường thẳng AC, AD cắt tiếp tuyến với (O) tại B lần lượt tại P và Q.
a) Chứng minh CPQD là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với đường thẳng CD.
c) Xác định vị trí của CD để diện tích tứ giác CPQD bằng ba lần diện tích tam giác ACD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(\widehat {ADC} = \widehat {BPC}\), từ đó chứng minh tứ giác CPQD có tổng hai góc đối bằng 1800.
b) Gọi \(E = AI \cap CD\), chứng minh tam giác AED có tổng hai góc nhọn bằng 900.
c) \({S_{CPQD}} = 3{S_{ACD}} \Rightarrow {S_{APQ}} = 4{S_{ACD}}\)
+) Chứng minh hai tam giác APQ và ACD đồng dạng. Sử dụng định lí : Tỉ số diện tích tam giác bằng bình phương tỉ số đồng dạng và công thức tính diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh và đường cao tương ứng, chứng minh \(AE = \dfrac{1}{2}AB \Rightarrow E \equiv O\).
+) Kết luận vị trí của đường kính CD so với AB.
Lời giải chi tiết
a) Ta có : \(\widehat {ACB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AC \bot BC\).
\( \Rightarrow BC \bot AP\)
Xét tam giác vuông BCP có : \(\widehat {BPC} + \widehat {CBP} = {90^0}\)(tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {CBP} = \widehat {ABP} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {BPC}\). Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)
\( \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {BPC}\).
Ta có : \(\widehat {ADC} + \widehat {CDQ} = {180^0}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {BPC} + \widehat {CDQ} = {180^0}\).
Vậy tứ giác CPQD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
b) Gọi \(E = AI \cap CD\).
Ta có : \(\widehat {CAD} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta APQ\) vuông tại A \( \Rightarrow AI = \dfrac{1}{2}PQ = IP = IQ\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
\( \Rightarrow \Delta IAQ\) cân tại I \( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat Q\) (2 góc ở đáy) (1)
Xét tam giác vuông APQ có: \(\widehat Q + \widehat P = {90^0}\) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Xét tam giác vuông ABP có: \(\widehat {{A_2}} + \widehat P = {90^0}\) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat Q\) (2). Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\).
Và \(\widehat {ADC} = \widehat {BPC}\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta ADE\) có : \(\widehat {{A_1}} + \widehat {ADC} = \widehat {{A_2}} + \widehat {BPC} = {90^0} \)
\(\Rightarrow \Delta ADE\) vuông tại E.
Vậy \(AI \bot CD\) tại E.
c) \({S_{CPQD}} = 3{S_{ACD}} \Rightarrow {S_{APQ}} = 4{S_{ACD}}\).
Xét \(\Delta APQ\) và \(\Delta ADC\) có : \(\widehat {PAQ}\) chung ; \(\widehat {BPC} = \widehat {ADC}\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta APQ \sim \Delta ADC\,\,\left( {g.g} \right) \)
\(\Rightarrow \dfrac{{{S_{ACD}}}}{{{S_{APQ}}}} = {\left( {\dfrac{{CD}}{{PQ}}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{CD}}{{PQ}} = \dfrac{1}{2}\)
Ta có : \(\dfrac{{{S_{ACD}}}}{{{S_{APQ}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}AE.CD}}{{\dfrac{1}{2}AB.PQ}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}.\dfrac{{CD}}{{PQ}} \)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{4} = \dfrac{{AE}}{{AB}}.\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{1}{2} \)
\(\Rightarrow AE = \dfrac{1}{2}AB\) \( \Rightarrow E \equiv O\)
Mà \(AE \bot CD\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AO \bot CD\) hay \(AB \bot CD\).
Vậy khi \(CD \bot AB\) thì \({S_{CPQD}} = 3{S_{ACD}}.\)
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 11 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
- Bài 12 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
- Bài 13 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
- Bài 14 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
- Bài 15 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
