Bài 13 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn. Chứng minh hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.

Đề bài

Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn. Chứng minh hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD với AC.

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau chứng minh

\(\begin{array}{l}2CM = CM + CJ = AC + BC - AB\\2CN = CN + CP = AC + CD - AD\end{array}\)

Xét hiệu \(2\left( {CM - CN} \right)\), chứng minh \(2\left( {CM - CN} \right) = 0 \Rightarrow M \equiv N\).

Lời giải chi tiết

 

Gọi E, F, G, H lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD với các cạnh AB, BC, CD, DA.

Gọi I, J, M lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với AB, BC, AC.

Gọi N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ACD với AC, CD, AD.

Ta có:

\(2CM = CM + CJ = AC - AM + BC - BJ \)\(\,= AC + BC - \left( {AI + BI} \right) = AC + BC - AB\)

(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Chứng minh tương tự ta có :

\(2CN = CN + CP = AC - AN + CD - DP \)\(\,= AC + CD - \left( {AQ + DQ} \right) = AC + CD - AD\)

(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {CM - CN} \right) = BC + AD - \left( {AB + CD} \right)\\ = BF + CF + AH + DH - AE - BE - CG - DG\\ = \left( {BF - BE} \right) + \left( {CF - CG} \right) + \left( {AH - AE} \right) + \left( {DH - DG} \right)\\ = 0\end{array}\)

(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

\( \Rightarrow CM = CN \Rightarrow M \equiv N\).

Vậy hai đường trònnội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.

Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng