Bài 13 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2


Đề bài

Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn. Chứng minh hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD với AC.

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau chứng minh

\(\begin{array}{l}2CM = CM + CJ = AC + BC - AB\\2CN = CN + CP = AC + CD - AD\end{array}\)

Xét hiệu \(2\left( {CM - CN} \right)\), chứng minh \(2\left( {CM - CN} \right) = 0 \Rightarrow M \equiv N\).

Lời giải chi tiết

 

Gọi E, F, G, H lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD với các cạnh AB, BC, CD, DA.

Gọi I, J, M lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với AB, BC, AC.

Gọi N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ACD với AC, CD, AD.

Ta có:

\(2CM = CM + CJ = AC - AM + BC - BJ \)\(\,= AC + BC - \left( {AI + BI} \right) = AC + BC - AB\)

(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Chứng minh tương tự ta có :

\(2CN = CN + CP = AC - AN + CD - DP \)\(\,= AC + CD - \left( {AQ + DQ} \right) = AC + CD - AD\)

(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {CM - CN} \right) = BC + AD - \left( {AB + CD} \right)\\ = BF + CF + AH + DH - AE - BE - CG - DG\\ = \left( {BF - BE} \right) + \left( {CF - CG} \right) + \left( {AH - AE} \right) + \left( {DH - DG} \right)\\ = 0\end{array}\)

(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

\( \Rightarrow CM = CN \Rightarrow M \equiv N\).

Vậy hai đường trònnội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài