Bài 12 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu

Giải bài tập Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của B trên AC,

Đề bài

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của B trên AC, CD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và HI. Chứng minh:

a) Hai tam giác ABD và HBI đồng dạng.

b) \(\widehat {MNB} = {90^o}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh hai tam giác ABD và HBI đồng dạng theo trường hợp g-g.

b) Chứng minh tam giác BDM và tam giác BIN đồng dạng theo trường hợp c-g-c.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét tứ giác BHIC có : \(\widehat {BHC} = \widehat {BIC} = {90^0}\) (gt) \( \Rightarrow \) 2 điểm H, I cùng nhìn B, C dưới góc 900\( \Rightarrow H;I\) thuộc đường tròn đường kính BC \( \Rightarrow BHIC\) nội tiếp đường tròn đường kính BC.

\( \Rightarrow \widehat {HIB} = \widehat {HCB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HB).

Mà \(\widehat {HCB} = \widehat {ADB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow \widehat {HIB} = \widehat {ADB}\).

Tương tự ta có : \(\widehat {HBI} = \widehat {HCI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HI của đường tròn đường kính BC).

\(\widehat {HCI} = \widehat {ABD}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD của đường tròn \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow \widehat {HBI} = \widehat {ABD}\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBI\) có :

\(\begin{array}{l}\widehat {HIB} = \widehat {ADB}\,\,\left( {cmt} \right);\\\widehat {HBI} = \widehat {ABD}\,\,\left( {cmt} \right);\\ \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta HBI\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)

b) Gọi K là hình chiếu của B trên AD \( \Rightarrow \widehat {BKD} = {90^0}\).

Xét tứ giác BIDK có : \(\widehat {BID} + \widehat {BKD} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác BIDK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).

\( \Rightarrow \widehat {DKI} = \widehat {DBI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DI)  (1).

Ta có \(\Delta ABD \sim \Delta HBI\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BI}} = \dfrac{{AD}}{{HI}} = \dfrac{{2MD}}{{2NI}} = \dfrac{{MD}}{{NI}}\)

Xét \(\Delta BDM\) và \(\Delta BIN\) có :  

\(\begin{array}{l}\widehat {HIB} = \widehat {ADB}\,\,\left( {cmt} \right);\\\dfrac{{BD}}{{BI}} = \dfrac{{MD}}{{NI}}\,\,\left( {cmt} \right);\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta BDM \sim \Delta BIN\,\,\left( {c.g.c} \right) \)

\(\Rightarrow \widehat {DBM} = \widehat {IBN}\) (2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat {DBM} + \widehat {DBN} = \widehat {IBN} + \widehat {DBN} \)

\(\Rightarrow \widehat {MBN} = \widehat {BDI}\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {DKI} = \widehat {MBN}\) hay \(\widehat {MKN} = \widehat {MBN} \) (\Rightarrow \) Tứ giác MNBK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {BKM} + \widehat {BNM} = {180^0}\) (tổng 2 góc đối của tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {BKM} = {90^0}\) (cách dựng) \( \Rightarrow \widehat {BNM} = {90^0}\) (đpcm).

 Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng