-
CHƯƠNG I : CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
-
CHƯƠNG II : HÀM SỐ BẬC NHẤT
-
CHƯƠNG III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
-
CHƯƠNG IV: HÀM SỐ BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
-
CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
-
Chủ đề 1 : Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- 1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
- 2. Hệ thức giữa ba cạnh của tam giác vuông
- 3. Hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền
- 4. Hệ thức diện tích
- 5. Hệ thức giữa đường cao và hai cạnh góc vuông
- Bài tập - Chủ đề 1 : Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- Luyện tập - Chủ đề 1 : Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
-
Chủ đề 2 : Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- 1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
- 2. Liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của một góc
- 3. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
- 4. Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt
- 5. Tìm tỉ số lượng giác bằng máy tính cầm tay
- Bài tập - Chủ đề 2 : Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Luyện tập – Chủ đề 2 : Tỉ số lượng giác của góc nhọn
-
Chủ đề 3: Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
-
Chủ đề 4 : Ứng dụng của tỉ số lượng giác
-
Ôn tập chương 1 - Hình học 9
-
-
CHƯƠNG II : ĐƯỜNG TRÒN
-
CHƯƠNG III: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Giải bài tập Tài liệu Dạy - học Toán lớp 9, Phát triển tư duy đột phá trong dạy học Toán 9
Bài tập - Chủ đề 3: Tứ giác nội tiếp
Bài 21 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính BC với AB < AC. Vẽ
Đề bài
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính BC với AB < AC. Vẽ đường tròn tâm I, đường kính AO, cắt AB, AC lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh H, I, K thẳng hàng.
b) Tia OH và OK lần lượt cắt các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O tại D và E. Chứng minh rằng BD + CE = DE và BD.CE = R2.
c) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của OD và OE. Chứng minh tứ giác APOQ nội tiếp.
d) Biết BD = 4 cm, EC = 6 cm. Hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DOE.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh AHOK là hình chữ nhật suy ra I là trung điểm của HK.
b) Chứng minh A, D, E thẳng hàng, sử dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông.
c) Chứng minh \(\widehat {PAQ} = {90^0}\), suy ra tứ giác APOQ có tổng hai góc đối bằng 1800.
d) Gọi O’ là trung điểm của DE. Vì \(\Delta ODE\) vuông tại O nên O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DOE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DOE bằng \(\dfrac{{DE}}{2}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\widehat {AHO} = \widehat {AKO} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét tứ giác AHOK có: \(\widehat {HAK} = \widehat {AHO} = \widehat {AKO} = {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác AHOK là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).
\( \Rightarrow \) Hai đường chéo AO và HK cắt nhau tại trung điểm đường. Mà I là trung điểm của AO (gt) \( \Rightarrow I\) cũng là trung điểm của HK. Vậy H, I, K thẳng hàng.
b) +) Ta có:
\(\widehat {DAB} = \widehat {AOH}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AH).
\(\widehat {EAC} = \widehat {AOK}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AK).
\( \Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {HAK} + \widehat {EAC}\)\(\, = \widehat {AOH} + \widehat {HAK} + \widehat {AOK} \)\(\,= \widehat {HAK} + \widehat {HOK} = {180^0}\) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp) \( \Rightarrow D;A;E\) thẳng hàng.
Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có \(BD = AD;\,\,CE = AE\)
\( \Rightarrow BD + CE = AD + AE\). Mà D; A; E thẳng hàng (cmt) \( \Rightarrow AD + AE = DE\). Vậy \(BD + CE = DE\).
+) Ta có: \(BD.CE = AD.AE\).
Ta có: \(\widehat {DAO} = \widehat {AKO}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AO).
Mà \(\widehat {AKO} = {90^0}\) (AHOK là hình chữ nhật) \( \Rightarrow \widehat {DAO} = {90^0} \Rightarrow AO \bot DE\) tại A.
\(\widehat {HOK} = {90^0}\) (AHOK là hình chữ nhật) \( \Rightarrow \Delta DOE\) vuông tại O.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DOE có : \(AD.AE = A{O^2} = {R^2}\).
Vậy BD.CE = R2.
c) Xét tam giác vuông OAD có AP là trung tuyến ứng với cạnh huyền OD \( \Rightarrow PA = PO = PD \Rightarrow \Delta PAO\) cân tại P \( \Rightarrow \widehat {POA} = \widehat {PAO}\).
Chứng minh tương tự ta có : \(\widehat {QOA} = \widehat {QAO}\).
\( \Rightarrow \widehat {PAQ} = \widehat {PAO} + \widehat {QAO} \)\(\,= \widehat {POA} + \widehat {QOA} = \widehat {POQ} = {90^0}\).
Xét tứ giác APOQ có: \(\widehat {POQ} + \widehat {PAQ} = {90^0} + 90 = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
d) Gọi O’ là trung điểm của DE. Vì \(\Delta ODE\) vuông tại O nên O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DOE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DOE bằng \(\dfrac{{DE}}{2}\).
Mà \(DE = BD + CE = 4 + 6 = 10\,\,\left( {cm} \right)\)
\(\Rightarrow R = \dfrac{{DE}}{2} = 5\,\,\left( {cm} \right)\).
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 22 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
- Bài 23 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
- Bài 20 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
- Bài 19 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
- Bài 18 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
